Bevezető kémia – 1. kanadai kiadás

A 2.2. “Egységek kifejezése” című fejezetben mutattunk néhány példát arra, hogyan lehet a kezdeti egységeket más, azonos típusú egységekkel helyettesíteni, hogy könnyebben érthető számértéket kapjunk. Ebben a szakaszban formalizáljuk a folyamatot.

Nézzünk egy egyszerű példát: hány láb van 4 yardban? A legtöbb ember szinte automatikusan azt fogja válaszolni, hogy 4 yardban 12 láb van. Hogyan tette meg ezt a meghatározást? Nos, ha 1 yardban 3 láb van, és 4 yard van, akkor 4 × 3 = 12 láb van 4 yardban.

Ez természetesen helyes, de informális. Formalizáljuk úgy, hogy általánosabban is alkalmazható legyen. Tudjuk, hogy 1 yard (yd) egyenlő 3 láb (ft):

1 yd = 3 ft

A matematikában ezt a kifejezést egyenlőségnek nevezik. Az algebra szabályai szerint az egyenlőséget megváltoztathatjuk (azaz szorozhatjuk vagy oszthatjuk, hozzáadhatjuk vagy kivonhatjuk) (mindaddig, amíg nem osztunk nullával), és az új kifejezés továbbra is egyenlőség marad. Ha például mindkét oldalt elosztjuk 2-vel, akkor

Azt látjuk, hogy egy yard fele 3/2, azaz másfél láb – amit szintén tudunk, hogy igaz, tehát a fenti egyenlet még mindig egyenlőség. Visszatérve az eredeti egyenlőséghez, tegyük fel, hogy az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 1 yarddal (szám és egység):

A kifejezés az algebra szabályai szerint még mindig egyenlőség. A bal oldali tört egyenlő 1-gyel. Ugyanaz a mennyiség van a számlálóban és a nevezőben, tehát egyenlőnek kell lennie 1-gyel. A számlálóban és a nevezőben lévő mennyiségek kioltják a számot és az egységet is:

Ha egy törtben minden kioltódik, a tört 1-re csökken:

Egy olyan kifejezésünk van, 3 ft1 yd, ami egyenlő 1-gyel. Ez egy furcsa módja az 1 írásának, de van értelme: 3 ft egyenlő 1 yd, tehát a számlálóban és a nevezőben lévő mennyiségek ugyanaz a mennyiség, csak más mértékegységgel kifejezve. A 3 ft1 yd kifejezést átváltási tényezőnek nevezzük, és arra szolgál, hogy egy mennyiség egységét formálisan átváltoztassuk egy másik egységre. (Az egységek ilyen formális átalakításának folyamatát néha dimenzióelemzésnek vagy tényezőcímke-módszernek nevezik.)

Hogy lássuk, hogyan történik ez, kezdjük az eredeti mennyiséggel:

4 yd

Most szorozzuk meg ezt a mennyiséget 1-gyel. Amikor bármit megszorozunk 1-gyel, nem változtatjuk meg a mennyiség értékét. Ahelyett, hogy csak 1-gyel szoroznánk, írjuk az 1-et úgy, hogy 3 ft1 yd:

A 4 yd kifejezést úgy is felfoghatjuk, mint 4 yd/1; vagyis úgy is felfoghatjuk, mint egy törtet, amelynek a nevezőjében 1 van. Lényegében törteket szorzunk. Ha egy tört számlálójában és nevezőjében ugyanaz szerepel, akkor ezek kioltódnak. Ebben az esetben ami kiolvad, az az egység yard:

Ez minden, amit kiolthatunk. Most szorozzuk és osszuk el az összes számot, hogy megkapjuk a végső választ:

Újra 12 ft-os választ kapunk, ugyanúgy, mint eredetileg. De ebben az esetben egy formálisabb eljárást használtunk, amely számos problémára alkalmazható.

Hány milliméter van 14,66 m-ben? A válaszhoz meg kell konstruálnunk egy átváltási tényezőt milliméter és méter között, és helyesen kell alkalmaznunk az eredeti mennyiségre. Kezdjük a milliméter definíciójával, ami

1 mm = 1/1.000 m

Az 1/1.000 az, amit a milli- előtag jelent. A legtöbb embernek kényelmesebb törtek nélkül dolgozni, ezért ezt az egyenletet úgy írjuk át, hogy az 1,000-et átvisszük az egyenlet másik oldalának számlálójába:

1,000 mm = 1 m

Most egy átváltási tényezőt konstruálunk úgy, hogy egy mennyiséget osztunk mindkét oldalra. De most felmerül egy kérdés: melyik mennyiséggel osztunk? Kiderül, hogy két lehetőségünk van, és a két lehetőség különböző átváltási tényezőket ad, mindkettő egyenlő 1:

Melyik átváltási tényezőt használjuk? A válasz alapja az, hogy milyen egységtől szeretnénk megszabadulni a kiindulási mennyiségben. A mi mennyiségünk eredeti mértékegysége méter, amit át akarunk konvertálni milliméterre. Mivel az eredeti egységet feltételezzük, hogy a számlálóban van, ahhoz, hogy megszabaduljunk tőle, a méter egységet a nevezőben akarjuk szerepeltetni; ekkor ezek kioltódnak. Ezért a második átváltási tényezőt fogjuk használni. Az egységek kiiktatásával és a matematika elvégzésével

Megjegyezzük, hogy az m kiiktatódik, így marad a mm, ami az érdekes egység.

A megfelelő átváltási tényezők megalkotásának és alkalmazásának képessége nagyon hatékony matematikai technika a kémiában. Ezt a technikát el kell sajátítania, ha sikeres akar lenni ebben és a későbbi kurzusokban.

Mi van, ha van egy olyan származtatott egységünk, amely több egység szorzata, például m2? Tegyük fel, hogy négyzetmétert akarunk átváltani négyzetcentiméterre? A kulcs az, hogy ne feledjük, hogy az m2 azt jelenti, hogy m × m, ami azt jelenti, hogy két méteres egység van a származtatott egységünkben. Ez azt jelenti, hogy két átváltási tényezőt kell megadnunk, egyet-egyet minden egységhez. Például, ha 17,6 m2-t négyzetcentiméterre szeretnénk átváltani, az átváltást a következőképpen végezzük el:

Tegyük fel, hogy az átváltani kívánt egység egy származtatott egység nevezőjében van; akkor mi az? Akkor az átváltási tényezőben az eltávolítani kívánt egységnek a számlálóban kell lennie. Ez megszünteti az eredeti egységet a nevezőben, és egy új egységet vezet be a nevezőben. A következő példa szemlélteti ezt a helyzetet: