CardinalityEdit
Mutatható, hogy a folyamat során ugyanannyi pont marad hátra, mint ahány pont volt kezdetben, és ezért a Cantor-halmaz megszámlálhatatlan. Hogy ezt lássuk, megmutatjuk, hogy létezik egy f függvény a C {\displaystyle {\mathcal {C}}} Cantor-halmazból.
a zárt intervallumra, amely szürjektív (azaz f leképezi a C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
-ra ) úgy, hogy a C {\displaystyle {\mathcal {C}}} kardinalitása
nem kisebb, mint az . Mivel C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
részhalmaza , a kardinalitása sem nagyobb, így a két kardinalitásnak a Cantor-Bernstein-Schröder-tétel alapján valójában egyenlőnek kell lennie.
A függvény megkonstruálásához tekintsük az intervallum pontjait a 3. bázisú (vagy terner) jelölés szempontjából. Emlékezzünk vissza, hogy a megfelelő terner törtek, pontosabban: a ( Z ∖ { 0 } ) ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} elemei. _{0}}}
, több ábrázolást is megengednek ebben a jelölésben, mint például az 1/3, amely írható 0,13 = 0,103, de 0,0222…3 = 0,023, és a 2/3, amely írható 0,23 = 0.203, hanem 0,1222…3 = 0,123. Ha a középső harmadot eltávolítjuk, ez tartalmazza a 0,1xxxxx…3 alakú terner számokat, ahol xxxxx…3 szigorúan 00000…3 és 22222…3 között van. Tehát az első lépés után megmaradó számok a következőkből állnak:
- A 0.0xxxxx…3 alakú számok (beleértve a 0.02222222…3 = 1/3)
- A 0.2xxxxx…3 alakú számok (beleértve a 0.22222222….3 = 1)
Ez úgy foglalható össze, hogy azok a számok, amelyeknek a terner ábrázolása olyan, hogy a radixpont utáni első számjegy nem 1, azok az első lépés után megmaradó számok.
A második lépésben eltávolítjuk a 0,01xxxxxx…3 és a 0,21xxxxxx…3 alakú számokat, és (a végpontok megfelelő gondosságával) megállapítható, hogy azok a számok maradnak meg, amelyeknek olyan terner ábrázolásuk van, ahol az első két számjegy egyike sem 1.
Az így folytatva, ahhoz, hogy egy számot ne zárjunk ki az n lépésben, olyan terner ábrázolással kell rendelkeznie, amelynek n-edik számjegye nem 1. Ahhoz, hogy egy szám a Cantor-halmazban legyen, egyetlen lépésnél sem lehet kizárva, olyan számábrázolást kell megengednie, amely teljes egészében 0-ból és 2-esből áll.
Meg kell hangsúlyozni, hogy az olyan számok, mint az 1, 1/3 = 0,13 és 7/9 = 0,213 a Cantor-halmazban vannak, mivel ezek terner számábrázolása teljes egészében 0-ból és 2-esből áll: 1 = 0,222…3 = 0,23, 1/3 = 0,0222…3 = 0,023 és 7/9 = 0,20222…3 = 0,2023.Ez utóbbi számok mind “végpontok”, és ezek a példák a C {\displaystyle {\mathcal {C}} jobb oldali határpontjai.}
. Ugyanez igaz a C {\displaystyle {\mathcal {C}}} bal oldali határpontjaira is.
, pl. 2/3 = 0,1222…3 = 0,123 = 0,203 és 8/9 = 0,21222…3 = 0,2123 = 0,2203. Mindezek a végpontok megfelelő terner törtek (a Z ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle \mathbb {Z} elemei). \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}
) p/q alakú, ahol a nevező q 3 hatványa, ha a tört irreducibilis formában van. Ezeknek a törteknek a terner ábrázolása véges (azaz véges) vagy – emlékezzünk vissza a fentiekből, hogy a megfelelő terner törteknek egyenként 2 ábrázolása van – végtelen, és vagy végtelen sok ismétlődő 0-val vagy végtelen sok ismétlődő 2-vel “végződik”. Az ilyen tört a C {\displaystyle {\mathcal {C}}} bal oldali határpontja.
, ha hármas ábrázolása nem tartalmaz 1-eseket és végtelen sok ismétlődő 0-ban “végződik”. Hasonlóképpen, egy megfelelő terner tört a C {\displaystyle {\mathcal {C}}} jobb oldali határpontja.
, ha megint csak a terner kiterjesztése nem tartalmaz 1-eseket és végtelen sok ismétlődő 2-esben “végződik”.
Ez a végponthalmaz C-ben sűrű {\displaystyle {\mathcal {C}}}
(de nem sűrű benne ) és megszámlálhatóan végtelen halmazt alkot. A C-ben lévő számok {\displaystyle {\mathcal {C}}}
, amelyek nem végpontok, szintén csak 0 és 2 számjegyűek a terner ábrázolásukban, de nem végződhetnek a 0 számjegy végtelen ismétlődésével, sem a 2 számjegyével, mert akkor az végpont lenne.
A C-ből származó függvény {\displaystyle {\mathcal {C}}}
to úgy határozzuk meg, hogy vesszük azokat a terner számjegyeket, amelyek teljes egészében 0-ból és 2-ből állnak, az összes 2-est 1-essel helyettesítjük, és a sorozatot egy valós szám bináris ábrázolásaként értelmezzük. Egy képletben f ( ∑ k ∈ N a k 3 – k ) = ∑ k ∈ N a k 2 2 – k {\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}}{2}}2^{-k}}}
ahol ∀ k ∈ N : a k ∈ { 0 , 2 } . {\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} :a_{k}\in \{0,2\}.}
Minden y-ban lévő szám bináris ábrázolása lefordítható a C-ben lévő x szám terner ábrázolásává {\displaystyle {\mathcal {C}}}}
az összes 1-est 2-essel helyettesítve. Ezzel f(x) = y úgy, hogy y az f tartományában van. Például ha y = 3⁄5 = 0,100110011001…2 = 0,1001, akkor azt írjuk, hogy x = 0,2002 = 0,200220022002…3 = 7⁄10. Következésképpen f szürjektív. Azonban f nem injektív – azok az értékek, amelyekre f(x) egybeesik, az egyik eltávolított középső harmad ellentétes végeinél vannak. Vegyük például 1⁄3 = 0.023 (ami a C {\displaystyle {\mathcal {C}} jobb oldali határpontja).
és a középső harmad bal oldali határpontja ) és 2⁄3 = 0,203 (ami a C {\displaystyle {\mathcal {C}}} bal oldali határpontja).
és a középső harmad jobb oldali határpontja )
szóval
f ( 1 / 3 ) = f ( 0,0 2 ¯ 3 ) = 0,0 1 ¯ 2 = 0,1 2 = 0,1 0 ¯ 2 = f ( 0,2 0 ¯ 3 ) = f ( 2 / 3 ) . ∥ 1 / 2 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}}_{3})=0.0{\overline {1}}}_{2}=\!\!&\!\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}
Ezért annyi pont van a Cantor-halmazban, ahány pont van az intervallumban (amelynek megszámlálhatatlan kardinalitása c = 2 ℵ 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}}
). Az eltávolított intervallumok végpontjainak halmaza azonban megszámlálható, tehát a Cantor-halmazban megszámlálhatatlanul sok olyan számnak kell lennie, amely nem intervallumvégpont. Mint fentebb említettük, ilyen szám például az 1⁄4, amely terner jelöléssel 0,020202…3 = 0,02-nek írható. Valójában, bármely a ∈ {\displaystyle a\in}
, léteznek x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}
úgy, hogy a = y – x {\displaystyle a=y-x}
. Ezt először Steinhaus mutatta be 1917-ben, aki geometriai érvekkel bizonyította azt az egyenértékű állítást, hogy { ( ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a } ∩ ( C × C ) ≠ ∅ {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,y=x+a\}\;\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }
minden a ∈ {\displaystyle a\in }
. Mivel ez a konstrukció injektálást biztosít a {\displaystyle }
a C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}
, akkor | C × C | ≥ | | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}|\geq ||={\mathfrak {c}}}
mint közvetlen következmény. Feltételezve, hogy | A × A | = | A | {\displaystyle |A\times A|=|A|}
bármely A végtelen halmazra {\displaystyle A}
(ez a Tarski által a választás axiómájával egyenértékűnek bizonyított állítás), ez egy újabb bizonyítékot szolgáltat arra, hogy | C | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}}
.
A Cantor-halmaz annyi pontot tartalmaz, mint az intervallum, amelyből kivettük, de maga nem tartalmaz nem nulla hosszúságú intervallumot. Az irracionális számok ugyanezzel a tulajdonsággal rendelkeznek, de a Cantor-halmaz további tulajdonsága, hogy zárt, tehát egyetlen intervallumban sem sűrű, ellentétben az irracionális számokkal, amelyek minden intervallumban sűrűek.
Vélelmezték, hogy minden algebrai irracionális szám normális. Mivel a Cantor-halmaz tagjai nem normálisak, ez azt jelentené, hogy a Cantor-halmaz minden tagja vagy racionális vagy transzcendens.
ÖnhasonlóságSzerkesztés
A Cantor-halmaz a fraktál prototípusa. Önhasonló, mert egyenlő önmaga két példányával, ha mindegyik példányt 3-szorosára zsugorítjuk és elfordítjuk. Pontosabban, a Cantor-halmaz egyenlő két függvény, önmaga bal és jobb oldali önhasonló transzformációjának uniójával, T L ( x ) = x / 3 {\displaystyle T_{L}(x)=x/3}
és T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}
, amelyek a Cantor-halmazt homeomorfizmusig változatlanul hagyják: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C = T L ( C ) ∪ T R ( C ) . {\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}
T L {\displaystyle T_{L}} ismételt iterációja {\displaystyle T_{L}}
és T R {\displaystyle T_{R}}
végtelen bináris faként ábrázolható. Vagyis a fa minden egyes csomópontjánál tekinthetjük a balra vagy jobbra lévő részfát. Vegyük a { T L , T R } halmazt. {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}
függvénykompozícióval együtt egy monoidot, a dyadikus monoidot alkotja.
A bináris fa automorfizmusai a hiperbolikus forgásai, és a moduláris csoport által adottak. A Cantor-halmaz tehát homogén tér abban az értelemben, hogy bármely két pontra x {\displaystyle x}
és y {\displaystyle y}
a C Cantor-halmazban {\displaystyle {\mathcal {C}}}
, létezik egy h : C → C {\displaystyle h:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} homeomorfizmus.
ahol h ( x ) = y {\displaystyle h(x)=y}
. A h {\displaystyle h}
könnyebben leírható, ha a Cantor-halmazt a {\displaystyle \{0,1\}} {\displaystyle \{0,1\}} diszkrét tér megszámlálhatóan sok példányának terméktereként tekintjük.
. Ekkor a h : { 0 , 1 } leképezés N → { 0 , 1 } N {\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}^{\mathbb {N} }}
által definiált h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}
egy involutív homeomorfizmus, amely kicseréli x {\displaystyle x}
és y {\displaystyle y}
.
Konzervációs törvénySzerkesztés
Megállapították, hogy a skálázás és az önhasonlóság mögött mindig valamiféle konzervációs törvény áll. A Cantor-halmaz esetében látható, hogy a d f {\displaystyle d_{f}}
th momentum (ahol d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {\displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}
a fraktáldimenzió) az összes túlélő intervallumnak a konstrukciós folyamat bármely szakaszában egyenlő a konstanssal, ami a Cantor-halmaz esetében egyenlő eggyel . Tudjuk, hogy van N = 2 n {\displaystyle N=2^{n}}
méretű 1 / 3 n {\displaystyle 1/3^{n}} intervallumok.
jelen van a rendszerben az n {\displaystyle n}
a konstrukciójának
. lépésénél. Ekkor ha a túlélő intervallumokat x 1 , x 2 , … , x 2 n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}
akkor a d f {\displaystyle d_{f}}
th momentuma x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {\displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+\cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}
mivel x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 n = 1 / 3 n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}}
.
A Cantor-halmaz Hausdorff-dimenziója egyenlő: ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.
Topológiai és analitikus tulajdonságokSzerkesztés
Bár “a” Cantor-halmaz általában a fent leírt eredeti, középső-harmadik Cantorra utal, a topológusok gyakran beszélnek “egy” Cantor-halmazról, ami bármely topológiai teret jelent, amely homeomorf (topológiailag egyenértékű) vele.
Amint a fenti összegzési érv mutatja, a Cantor-halmaz megszámlálhatatlan, de Lebesgue-mértékkel 0. Mivel a Cantor-halmaz nyílt halmazok uniójának komplementje, maga is a valósak zárt részhalmaza, tehát teljes metrikus tér. Mivel ez is teljesen korlátos, a Heine-Borel-tétel szerint kompaktnak kell lennie.
A Cantor-halmaz bármely pontjára és a pont tetszőlegesen kis környezetére létezik olyan szám, amelynek terner számjegye csak 0-ból és 2-ből áll, valamint olyan számok, amelyek terner számjegye 1-eseket tartalmaz. Ezért a Cantor-halmaz minden pontja a Cantor-halmaz halmozási pontja (más néven halmazpont vagy határpont), de egyik sem belső pont. Az olyan zárt halmazt, amelynek minden pontja halmozódási pont, topológiában tökéletes halmaznak is nevezik, míg az intervallum olyan zárt részhalmaza, amelynek nincs belső pontja, sehol sem sűrű az intervallumban.
A Cantor-halmaz minden pontja egyben a Cantor-halmaz komplementjének halmozódási pontja is.
A Cantor-halmaz bármely két pontja számára lesz olyan terner számjegy, amelyben különböznek – az egyiknek 0, a másiknak 2 lesz. Ha a Cantor-halmazt ennek a számjegynek az értékétől függően “felekre” osztjuk, akkor a Cantor-halmaznak két olyan zárt halmazra való felosztását kapjuk, amelyek elválasztják az eredeti két pontot. A Cantor-halmaz relatív topológiájában a pontokat egy zárt halmazzal választottuk szét. Következésképpen a Cantor-halmaz teljesen zárt. A Cantor-halmaz mint kompakt, teljesen összefüggéstelen Hausdorff-tér, a Stone-tér egyik példája.
Topológiai térként a Cantor-halmaz természetesen homeomorfikus a {\displaystyle \{0,1\}} tér megszámlálhatóan sok példányának szorzatával.
, ahol minden példány a diszkrét topológiát hordozza. Ez az összes két számjegyű szekvencia tere 2 N = { ( ( x n ) ∣ x n ∈ { 0 , 1 } for n ∈ N } } {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\in \{0,1\}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} \}}
,
amely szintén azonosítható a 2-adikus egész számok halmazával. A termék topológia nyílt halmazainak alapját a hengerhalmazok képezik; a homeomorfizmus ezeket leképezi arra a részterületi topológiára, amelyet a Cantor-halmaz a valós számsor természetes topológiájából örököl. A Cantor-térnek ez a jellemzése kompakt terek szorzataként egy második bizonyítékot ad arra, hogy a Cantor-tér kompakt, Tychonoff tételén keresztül.
A fenti jellemzés alapján a Cantor-halmaz homeomorf a p-adikus egész számokra, és ha egy pontot eltávolítunk belőle, a p-adikus számokra.
A Cantor-halmaz a valósak részhalmaza, amelyek a közönséges távolsági metrika tekintetében metrikus terek; ezért maga a Cantor-halmaz is metrikus tér, ugyanezen metrika alkalmazásával. Alternatívaként használhatjuk a 2 N {\displaystyle 2^{\mathbb {N} p-adikus metrikát is. }}
: adott két sorozat ( x n ) , ( y n ) ∈ 2 N {\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\ in 2^{\mathbb {N} }}
, a köztük lévő távolság d ( ( ( ( x n ) , ( y n ) ) ) = 2 – k {\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}}
, ahol k {\displaystyle k}
a legkisebb olyan index, hogy x k ≠ y k {\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}
; ha nincs ilyen index, akkor a két sorozat azonos, és a távolságot nullának definiáljuk. Ez a két metrika ugyanazt a topológiát generálja a Cantor-halmazon.
Fentebb láttuk, hogy a Cantor-halmaz egy teljesen összefüggéstelen tökéletes kompakt metrikus tér. Sőt, bizonyos értelemben ez az egyetlen: minden nem üres, teljesen összefüggéstelen tökéletesen kompakt metrikus tér homeomorf a Cantor-halmazzal. A Cantor-halmazra homeomorf terekről lásd: Cantor-tér.
A Cantor-halmazt néha “univerzálisnak” tekintik a kompakt metrikus terek kategóriájában, mivel bármely kompakt metrikus tér a Cantor-halmaz folytonos képe; ez a konstrukció azonban nem egyedi, így a Cantor-halmaz nem univerzális a pontos kategorikus értelemben. Az “univerzális” tulajdonságnak fontos alkalmazásai vannak a funkcionálanalízisben, ahol néha a kompakt metrikus terek reprezentációs tételeként ismert.
Minden q ≥ 2 egész szám esetén a G=Zqω csoport (a megszámlálható közvetlen összeg) topológiája diszkrét. Bár a Pontrjagin-féle Γ duál szintén Zqω, Γ topológiája kompakt. Látható, hogy Γ teljesen összefüggéstelen és tökéletes – tehát homeomorf a Cantor-halmazzal. A homeomorfizmus explicit kiírása q=2 esetben a legegyszerűbb. (Lásd Rudin 1962 p 40.)
A Cantor-halmaz geometriai átlaga megközelítőleg 0,274974.
Mérték és valószínűségSzerkesztés
A Cantor-halmaz tekinthető a bináris sorozatok kompakt csoportjának, és mint ilyen, természetes Haar-mértékkel van felruházva. Ha normalizáljuk úgy, hogy a halmaz mértéke 1, akkor a halmaz az érmefeldobások végtelen sorozatának modellje. Továbbá megmutatható, hogy az intervallumon lévő szokásos Lebesgue-mérték a Cantor-halmazon lévő Haar-mérték képe, míg a hármas halmazba való természetes injektálás a szinguláris mérték kanonikus példája. Az is megmutatható, hogy a Haar-mérték bármely valószínűség képe, így a Cantor-halmaz bizonyos szempontból univerzális valószínűségi térré válik.
A Lebesgue-mértékelméletben a Cantor-halmaz egy olyan halmaz példája, amely megszámlálhatatlan és nulla mértékkel rendelkezik.
Cantor-számokSzerkesztés
Ha a Cantor-számot a Cantor-halmaz tagjaként definiáljuk, akkor
- (1) Minden valós szám in két Cantor-szám összege.
- (2) Bármely két Cantor-szám között van olyan szám, amely nem Cantor-szám.
Leíró halmazelméletSzerkesztés
A Cantor-halmaz egy sovány halmaz (vagy első kategóriájú halmaz) részhalmazaként (bár nem önmagának részhalmazaként, hiszen ez egy Baire-tér). A Cantor-halmaz tehát azt mutatja, hogy a “méret” fogalma a kardinalitás, a mérték és a (Baire-)kategória szempontjából nem kell, hogy egybeessen. Mint ahogy a Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }
, a Cantor-halmaz C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
“kicsi” abban az értelemben, hogy nullhalmaz (nulla mértékkel rendelkező halmaz) és a . azonban, ellentétben Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q}} \cap }
, amely megszámlálható és “kis” kardinalitású, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}
, a C {\displaystyle {\mathcal {C}}} kardinalitása.
megegyezik a , a c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} kontinuummal.
, és a kardinalitás értelmében “nagy”. Valójában az is lehetséges, hogy konstruáljunk egy olyan részhalmazt, amely szűkös, de pozitív mértékkel rendelkezik, és egy olyan részhalmazt, amely nem szűkös, de nulla mértékkel rendelkezik: Ha a C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}} “kövér” Cantor-halmazok megszámlálható unióját vesszük.
mértékkel λ = ( n – 1 ) / n {\displaystyle \lambda =(n-1)/n}
(a konstrukciót lásd alább a Smith-Volterra-Cantor halmaznál), akkor kapunk egy A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}
amely pozitív mértékkel rendelkezik (egyenlő 1), de szűkös a , mivel minden C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}
sehol sem sűrű. Ekkor tekintsük az A c = ∖ ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}}^{\mathrm {c} }=\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}
. Mivel A ∪ A c = {\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=}
, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}}^{\mathrm {c} }}
nem lehet szűkös, de mivel μ ( A ) = 1 {\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}
, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}}^{\mathrm {c} }}
mértékének nullának kell lennie.