A rock and roll megjelenésével Norman hétéves korában szerezte meg első gitárját. Korai zenei hatásai Elvis Presley, Little Richard és Lonnie Donegan voltak.
Ezekben a korai években Norman szülei sokat költöztek az országban, aminek következtében kilenc különböző iskolába járt, és Anglia különböző helyein élt, például Redcarban, Lutonban, Kimptonban és Nottinghamben. 1962-re azonban a család visszaköltözött Norman édesanyjának szülővárosába, Bradfordba. Tizenkettedik születésnapjához közeledve Norman a St. Bede’s Grammar Schoolba kezdett járni, ahol megismerkedett Alan Silsonnal és Terry Uttley-vel, a Smokie későbbi tagjaival.
Tiniként, az olyan együttesek új korszakának hatására, mint a Beatles és a Rolling Stones, majd a folkénekes Bob Dylan, Norman és Silson találkozni kezdtek, és szinte minden szabadidejüket új dalok tanulásával töltötték gitáron. Sikerült meggyőzniük Uttley-t, hogy csatlakozzon hozzájuk, és egy Ron Kelly nevű dobos barátjukkal együtt megalakították első zenekarukat. A Yen, az Essence és a Long Side Down csak néhány volt a különböző nevek közül, amelyekkel nevezték magukat, mielőtt megállapodtak a “The Elizabethans” névben. Amikor Ron Kelly 1973-ban elhagyta a csapatot, egy régi barátot, Pete Spencert kérték fel, hogy vegye át a doboknál, és a csapat, amelyből később Smokie lett, teljes volt.
1974 és az 1980-as évek eleje között a Smokie sikeresen turnézott szerte a világon, de az otthontól és a családtól való állandó távollét okozta feszültség és nyomás kezdte megviselni Normant. Az 1980-as évek elejére úgy döntött, hogy több időt fordít az írásra és a stúdióban való munkára. Norman és Spencer most már más előadók dalain dolgoztak együtt, többek között Kevin Keegan slágerein (“Head Over Heels in Love”, 31. helyezett brit sláger) és az angol labdarúgó-válogatott “This Time (We’ll Get It Right)” című dalán. Dolgozott még Agnetha Fältskoggal (szólóalbumán), Racey-vel (a “Baby It’s You” társszerzője), Donovannal (háttérvokál a Donovan című dalban) és a Heavy Metal Kids-szel.
1978-ban Norman felvett egy duettet Suzi Quatróval, a “Stumblin’ In”-t, amely a No. 4. helyezést ért el az amerikai Billboard Hot 100-on, és több mint egymillió példányban kelt el.
Norman szólókarrierje 1986-ban indult be a “Midnight Lady” című dallal, amely Európa-szerte sláger lett, és hat hétig az első helyen állt Németországban (ahol 900.000 példányban kelt el). További sikerek következtek a “Some Hearts Are Diamonds”, a “No Arms Can Ever Hold You”, a “Broken Heroes”, a “Fearless Hearts”, a “Sarah” és a “Baby I Miss You” című dalokkal. 1994-ben Normant a CMT Europe “Az év nemzetközi videósztárja” címmel tüntette ki.
2004-ben részt vett a ProSieben német televíziós csatorna Comeback Show-jában, ahol a “Stumblin’ In” című dalt adta elő duettben C. C. Catch-el. A műsor utolsó epizódjában Smokie csatlakozott hozzá az utolsó dalhoz.
2007. június 2-án Norman fellépett a Peel Bay Festivalon, Isle of Man-on.