SzeizmológiaSzerkesztés
A dekonvolúció fogalmát már korán alkalmazták a reflexiós szeizmológiában. Enders Robinson 1950-ben az MIT végzős hallgatója volt. Az MIT-n másokkal, például Norbert Wienerrel, Norman Levinsonnal és Paul Samuelson közgazdásszal együtt dolgozott a reflexiós szeizmogram “konvolúciós modelljének” kifejlesztésén. Ez a modell feltételezi, hogy a rögzített s(t) szeizmogram egy e(t) földvisszaverődési függvény és egy pontforrásból származó w(t) szeizmikus hullámforma konvolúciója, ahol t a felvételi időt jelenti. Így a konvolúciós egyenletünk
s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {\displaystyle s(t)=(e*w)(t).\,}
A szeizmológust az e érdekli, amely a Föld szerkezetéről tartalmaz információt. A konvolúciós tétel alapján ez az egyenlet Fourier-transzformálható
S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) {\displaystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\,}
a frekvenciatartományban, ahol ω {\displaystyle \omega }
a frekvenciaváltozó. Feltételezve, hogy a reflektivitás fehér, feltételezhetjük, hogy a reflektivitás teljesítményspektruma állandó, és hogy a szeizmogram teljesítményspektruma a hullámspektrumnak ezzel a konstanssal megszorzott spektruma. Így | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . {\displaystyle |S(\omega )|\approx k|W(\omega )|.\,}
Ha feltételezzük, hogy a wavelet minimális fázisú, akkor az imént megtalált teljesítményspektrum minimális fázisú ekvivalensének kiszámításával visszaállíthatjuk. A reflektivitás visszanyerhető egy Wiener-szűrő megtervezésével és alkalmazásával, amely a becsült waveletet egy Dirac-delta függvénnyé (azaz tüskévé) alakítja. Az eredményt skálázott, eltolt deltafüggvények sorozatának tekinthetjük (bár ez matematikailag nem szigorú):
e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {\displaystyle e(t)=\sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),}
ahol N a reflexiós események száma, r i {\displaystyle r_{i}}}
a reflexiós együtthatók, t – τ i {\displaystyle t-\tau _{i}}
az egyes események reflexiós ideje, és δ {\displaystyle \delta }
a Dirac-delta függvény.
A gyakorlatban, mivel zajos, véges sávszélességű, véges hosszúságú, diszkrét mintavételezésű adatsorokkal van dolgunk, a fenti eljárás csak közelítést ad az adatok dekonvolválásához szükséges szűrőre. Ha azonban a problémát egy Toeplitz-mátrix megoldásaként fogalmazzuk meg, és Levinson-rekurziót alkalmazunk, akkor viszonylag gyorsan megbecsülhetjük a lehető legkisebb átlagos négyzetes hibával rendelkező szűrőt. A dekonvolúciót közvetlenül a frekvenciatartományban is elvégezhetjük, és hasonló eredményeket kapunk. A technika szorosan kapcsolódik a lineáris előrejelzéshez.
Optika és egyéb képalkotásSzerkesztés
Az optikában és a képalkotásban a “dekonvolúció” kifejezést kifejezetten az optikai mikroszkópban, elektronmikroszkópban, teleszkópban vagy más képalkotó eszközben bekövetkező optikai torzítás megfordításának folyamatára használják, ezáltal tisztább képek létrehozására. Ezt általában a digitális tartományban egy szoftveres algoritmus végzi, a mikroszkópos képfeldolgozási technikák csomagjának részeként. A dekonvolúció olyan képek élesítésére is praktikus, amelyek a felvételkészítés során gyors mozgástól vagy rázkódástól szenvednek. A Hubble Űrteleszkóp korai képeit egy hibás tükör torzította, és ezeket dekonvolúcióval élesítették.
A szokásos módszer az, hogy feltételezzük, hogy a műszeren áthaladó optikai út optikailag tökéletes, egy pontterjedési függvénnyel (PSF) összevonva, azaz egy olyan matematikai függvénnyel, amely a torzulást a fény (vagy más hullámok) elméleti pontforrásának a műszeren keresztül vezető útja szempontjából írja le. Általában egy ilyen pontforrás egy kis homályos területtel járul hozzá a végső képhez. Ha ez a függvény meghatározható, akkor ki kell számítani az inverz vagy komplementer függvényét, és a felvett képet ezzel kell konvolválni. Az eredmény az eredeti, torzítatlan kép.
A gyakorlatban a valódi PSF megtalálása lehetetlen, és általában annak egy közelítését használják, amelyet elméletileg számolnak ki, vagy valamilyen kísérleti becslésen alapulnak ismert szondák felhasználásával. A valós optikák különböző fókusz- és térbeli helyeken eltérő PSF-ekkel is rendelkezhetnek, és a PSF nem lineáris lehet. A PSF közelítésének pontossága határozza meg a végeredményt. Különböző algoritmusok alkalmazhatók a jobb eredmények eléréséhez, aminek az az ára, hogy számításigényesebbek. Mivel az eredeti konvolúció elveti az adatokat, egyes algoritmusok a közeli fókuszpontokban szerzett további adatokat használnak fel az elveszett információ egy részének pótlására. Az iteratív algoritmusokban (mint az elvárás-maximalizáló algoritmusokban) szabályozást lehet alkalmazni az irreális megoldások elkerülése érdekében.
Ha a PSF ismeretlen, lehetséges, hogy különböző lehetséges PSF-ek szisztematikus kipróbálásával és annak értékelésével, hogy javult-e a kép. Ezt az eljárást vak dekonvolúciónak nevezzük. A vak dekonvolúció egy jól bevált képrestaurálási technika a csillagászatban, ahol a lefényképezett objektumok pontszerű jellege feltárja a PSF-et, így megvalósíthatóbbá téve azt. A fluoreszcens mikroszkópiában is alkalmazzák képrestaurálásra, valamint a fluoreszcens spektrális képalkotásban több ismeretlen fluorofór spektrális elkülönítésére. A leggyakoribb iteratív algoritmus erre a célra a Richardson-Lucy dekonvolúciós algoritmus; a Wiener-féle dekonvolúció (és közelítések) a leggyakoribb nem-iteratív algoritmusok.
Egyes speciális képalkotó rendszerek, például a lézerimpulzusos terahertzes rendszerek esetében a PSF matematikailag modellezhető. Ennek eredményeként, ahogy az ábrán látható, a modellezett PSF és a terahertzes kép dekonvolúciója a terahertzes kép nagyobb felbontású ábrázolását adhatja.
RádiócsillagászatSzerkesztés
A rádióinterferometriában, a rádiócsillagászat egy speciális fajtájában végzett képszintézis során az egyik lépés az előállított kép dekonvolúciója a “piszkos sugárral”, ami a pontterjedési függvény más neve. Az általánosan használt módszer a CLEAN algoritmus.
Abszorpciós spektrumokSzerkesztés
A dekonvolúciót széles körben alkalmazzák abszorpciós spektrumok esetén. Használható a Van Cittert algoritmus (német nyelvű cikk).
Fourier-transzformációs szempontokSzerkesztés
A dekonvolúció a Fourier-tartományban történő osztásra képezi le. Ez lehetővé teszi a dekonvolúció egyszerű alkalmazását olyan kísérleti adatokkal, amelyek Fourier-transzformációnak vannak kitéve. Ilyen például az NMR-spektroszkópia, ahol az adatokat az időtartományban rögzítik, de a frekvenciatartományban elemzik. Az időtartománybeli adatok exponenciális függvénnyel való osztása azt eredményezi, hogy a frekvenciatartományban a Lorenz-féle vonalak szélessége csökken.