A matematikában az ellenpéldákat gyakran használják a lehetséges tételek határainak bizonyítására. Azzal, hogy ellenpéldák segítségével megmutatják, hogy bizonyos feltevések hamisak, a matematikai kutatók ezután elkerülhetik, hogy zsákutcába kerüljenek, és megtanulhatják a feltevések módosítását, hogy bizonyítható tételek szülessenek. Néha azt mondják, hogy a matematikai fejlődés elsősorban a tételek és ellenpéldák megtalálásából (és bizonyításából) áll.
Téglalap példaSzerkesztés
Tegyük fel, hogy egy matematikus geometriát és alakzatokat tanulmányoz, és bizonyos tételeket szeretne bizonyítani róluk. Feltételezi, hogy “Minden téglalap négyzet”, és érdekli, hogy ez az állítás igaz vagy hamis.
Ez esetben vagy megpróbálhatja deduktív érveléssel bizonyítani az állítás igazságát, vagy megpróbálhat ellenpéldát találni az állításra, ha azt gyanítja, hogy az hamis. Az utóbbi esetben az ellenpélda egy olyan téglalap lenne, amely nem négyzet, például egy olyan téglalap, amelynek két oldala 5 és két oldala 7. Annak ellenére azonban, hogy talált olyan téglalapokat, amelyek nem négyzetek, az összes téglalapnak, amelyet talált, négy oldala volt. Ekkor felállítja az új feltételezést: “Minden téglalapnak négy oldala van”. Ez logikailag gyengébb, mint az eredeti sejtése, mivel minden négyzetnek négy oldala van, de nem minden négyoldalú alakzat négyzet.
A fenti példa – leegyszerűsítve – elmagyarázta, hogyan gyengítheti egy matematikus a sejtését az ellenpéldákkal szemben, de az ellenpéldák arra is felhasználhatók, hogy bizonyítsák bizonyos feltételezések és hipotézisek szükségességét. Tegyük fel például, hogy a fenti matematikus egy idő után megállapodott az új feltevésben: “Minden olyan alakzat, amely téglalap, és amelynek négy egyenlő hosszúságú oldala van, négyzet”. E sejtés hipotézisének két része van: az alakzatnak “téglalapnak” kell lennie, és “négy egyenlő hosszúságú oldallal” kell rendelkeznie. A matematikus azt szeretné tudni, hogy bármelyik feltételezést el tudja-e távolítani, és mégis megmarad a feltevés igazsága. Ez azt jelenti, hogy a következő két állítás igazságát kell ellenőriznie:
- “Minden alakzat, amely téglalap, négyzet.”
- “Minden alakzat, amelynek négy egyenlő hosszú oldala van, négyzet.”
Az (1) ellenpéldáját már fentebb megadtuk, a (2) ellenpéldája pedig egy nem négyzetes rombusz. Így a matematikus most már tudja, hogy mindkét feltételezés valóban szükséges volt.
Egyéb matematikai példákSzerkesztés
A “minden prímszám páratlan szám” állítás ellenpéldája a 2-es szám, mivel ez egy prímszám, de nem páratlan szám. A 7-es és a 10-es számok egyike sem ellenpélda, mivel egyik sem elég ahhoz, hogy ellentmondjon az állításnak. Ebben a példában a 2 valójában az egyetlen lehetséges ellenpélda az állításhoz, még akkor is, ha ez önmagában elég ahhoz, hogy ellentmondjon az állításnak. Hasonló módon a “Minden természetes szám vagy prím vagy összetett” állítás ellenpéldája az 1 szám, mivel az 1 sem nem prím, sem nem összetett.
Euler hatványok összegére vonatkozó sejtését ellenpéldával cáfolták meg. Azt állította, hogy legalább n n-edik hatvány szükséges ahhoz, hogy egy másik n-edik hatványra összegződjön. Ezt a sejtést 1966-ban cáfolták meg egy n = 5-re vonatkozó ellenpéldával; ma már más n = 5 ellenpéldák is ismertek, valamint néhány n = 4 ellenpélda.
Witsenhausen ellenpéldája azt mutatja, hogy nem mindig igaz (szabályozási problémákra), hogy egy kvadratikus veszteségfüggvény és az állapotváltozó lineáris fejlődési egyenlete lineáris optimális szabályozási törvényeket implikál, amelyek lineárisak.
Más példák közé tartozik a Seifert-féle sejtés, a Pólya-féle sejtés, a Hilbert-féle tizennegyedik probléma sejtése, a Tait-féle sejtés és a Ganea-féle sejtés cáfolata.