Noha Descartes és Fermat is javasolta a három koordináta használatát a térben lévő görbék és felületek tanulmányozására, a háromdimenziós analitikus geometria lassan fejlődött egészen 1730 körülig, amikor Leonhard Euler és Jakob Hermann svájci matematikusok, valamint Alexis Clairaut francia matematikus általános egyenleteket állított fel hengerekre, kúpokra és forgásfelületekre. Euler és Hermann például megmutatta, hogy az f(z) = x2 + y2 egyenlet megadja azt a felületet, amely az f(z) = x2 görbe z tengely körüli elforgatásával keletkezik (lásd az ábrát, amely a z = x2 + y2 elliptikus paraboloidot mutatja).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Newton azt a figyelemre méltó állítást tette, hogy minden síkbeli kocka az ő harmadik standard formájából síkok közötti vetítéssel keletkezik. Ezt 1731-ben Clairaut és François Nicole francia matematikus egymástól függetlenül bebizonyította. Clairaut a Newton négy standard alakjában szereplő összes kockát a conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 kocka metszeteiként kapta meg, amely a térben azon egyenesekből áll, amelyek az origót (0, 0, 0, 0) a z = 1 síkban lévő harmadik standard kocka pontjaihoz kötik.
1748-ban Euler a térben való elforgatás és elfordítás egyenleteit használta az általános kvadrikus felületax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 átalakítására úgy, hogy főtengelyei egybeessenek a koordinátatengelyekkel. Euler és a francia matematikusok, Joseph-Louis Lagrange és Gaspard Monge függetlenítették az analitikus geometriát a szintetikus (nem analitikus) geometriától.
Vektoranalízis
A bármely dimenziójú euklideszi térben a vektorok – irányított vonalszakaszok – koordinátákkal megadhatók. Egy n-tupulus (a1, …, an) azt a vektort jelenti az n-dimenziós térben, amely az a1, …, an valós számokra vetül a koordinátatengelyeken.
1843-ban William Rowan Hamilton ír matematikus-csillagász négydimenziós vektorokat ábrázolt algebrailag, és feltalálta a kvaternionokat, az első nem-kommutatív algebrát, amelyet széles körben tanulmányoztak. A kvaternionok egy koordináta nullával való szorzása vezette Hamiltont a vektorokkal végzett alapvető műveletek felfedezéséhez. Mindazonáltal a matematikai fizikusok a vektoranalízisben használt jelölést rugalmasabbnak találták – különösen, hogy könnyen kiterjeszthető a végtelen dimenziós terekre. A kvaternionok algebrailag továbbra is érdekesek maradtak, és az 1960-as években beépültek bizonyos új részecskefizikai modellekbe.
Projekciók
Mivel a 20. század utolsó évtizedeiben exponenciálisan nőtt a könnyen elérhető számítási teljesítmény, a számítógépes animáció és a számítógéppel segített tervezés mindenütt elterjedt. Ezek az alkalmazások háromdimenziós analitikus geometrián alapulnak. A koordinátákat a virtuális tárgyak felszínének határait alkotó élek vagy parametrikus görbék meghatározására használják. A vektoranalízist a megvilágítás modellezésére és a felületek valósághű árnyalatainak meghatározására használják.
Julius Plücker már 1850-ben egyesítette az analitikus és a projektív geometriát azzal, hogy bevezette a homogén koordinátákat, amelyek az euklideszi síkban (lásd euklideszi geometria) és a végtelenben lévő pontokat egységesen hármasokként ábrázolják. A projektív transzformációkat, amelyek a homogén koordináták invertálható lineáris változásai, mátrixszorzással adják meg. Ez lehetővé teszi, hogy a számítógépes grafikai programok hatékonyan megváltoztassák a leképezett objektumok alakját vagy nézetét, és a háromdimenziós virtuális térből a kétdimenziós megjelenítő képernyőre vetítsék azokat.
Robert Alan BixHarry Joseph D’SouzaHarry Joseph D’Souza