Parti paradoxon

Ez a rész további hivatkozásokat igényel az ellenőrzéshez. Kérjük, segítsen javítani ezt a cikket megbízható forrásokra való hivatkozások hozzáadásával. A forrás nélküli anyagok megtámadhatók és eltávolíthatók. (2015. február) (Learn how and when to remove this template message)

A hossz alapfogalma az euklideszi távolságból ered. Az euklideszi geometriában egy egyenes jelenti a legrövidebb távolságot két pont között. Ennek az egyenesnek csak egy hossza van. Egy gömb felszínén ezt felváltja a geodéziai hosszúság (más néven a nagykör hossza), amelyet azon a felszíni görbén mérünk, amely a két végpontot és a gömb középpontját tartalmazó síkban létezik. Az alapgörbék hossza bonyolultabb, de szintén kiszámítható. Vonalzókkal mérve egy görbe hosszát a pontokat összekötő egyenesek összegével közelíthetjük meg:

Ha egy görbe hosszának közelítésére néhány egyenest használunk, akkor a valódi hossznál kisebb becslést kapunk; ha egyre rövidebb (és így egyre több) egyenest használunk, akkor az összeg megközelíti a görbe valódi hosszát. Ennek a hossznak a pontos értékét a matematikának azzal az ágával, amely lehetővé teszi a végtelenül kis távolságok kiszámítását, a kalkulációval lehet meghatározni. Az alábbi animáció szemlélteti, hogyan lehet egy sima görbének értelmesen pontos hosszúságot rendelni:

Nem minden görbét lehet azonban ilyen módon mérni. A fraktál definíció szerint olyan görbe, amelynek bonyolultsága a mérési skálával változik. Míg egy sima görbe közelítései a mérési pontosság növekedésével egyetlen érték felé tendálnak, addig egy fraktál mért értéke nem konvergál.

Ez a Sierpiński-görbe (a térkitöltő görbe egy fajtája), amely ugyanazt a mintát ismétli egyre kisebb skálán, folyamatosan növekszik a hossza. Ha úgy értelmezzük, hogy egy végtelenül felosztható geometriai térben iterál, akkor a hossza a végtelen felé tendál. Ugyanakkor a görbe által bezárt terület mégis egy pontos számhoz konvergál – ahogy analóg módon egy sziget szárazföldi tömege is könnyebben kiszámítható, mint a partvonalának hossza.

Mivel egy fraktálgörbe hossza mindig a végtelenbe torkollik, ha egy partvonalat végtelen vagy közel végtelen felbontással mérnénk, a partvonal végtelenül rövid csomópontjainak hossza a végtelenségig összeadódna. Ez az ábra azonban azon a feltételezésen alapul, hogy a tér végtelenül kicsi szakaszokra osztható. Ennek a feltételezésnek az igazságértéke – amely az euklideszi geometria alapját képezi, és hasznos modellként szolgál a mindennapi mérésekben – filozófiai spekuláció kérdése, és lehet, hogy tükrözi vagy nem tükrözi a “tér” és a “távolság” változó valóságát az atomi szinten (körülbelül nanométeres nagyságrendben). Például a Planck-hosszúságot, amely nagyságrendekkel kisebb, mint egy atom, az univerzumban lehetséges legkisebb mérhető egységként javasolják.

A fraktálok felépítése kevésbé határozott, mint az idealizált fraktáloké, például a Mandelbrot-halmazé, mivel különböző természeti események révén jönnek létre, amelyek statisztikailag véletlenszerű módon hoznak létre mintákat, míg az idealizált fraktálok egyszerű, képletszerű sorozatok ismételt ismétlésével jönnek létre.

Szólj hozzá!