Mindenféle kérdést kapunk a “Kérdezz egy fizikustól” postaládánkba (beleértve a pozitívan elkeserítő számot azoktól az emberektől, akik azt hiszik, hogy ez a “Kérdezz egy médiumot”), de az egyik téma, ami folyamatosan megmozgatja az emberek fantáziáját és kíváncsiságát, az a fénysebesség. Mi határozza meg, és miért nem mehet ennél gyorsabban semmi? Mi történik, ha megpróbáljuk? Ezeken a kérdéseken való gondolkodás és a válaszok keresése önmagában is lenyűgöző és szórakoztató, de ami ennél is fontosabb, hogy betekintést nyerhetünk az univerzumunk alapjául szolgáló szabályokba. Ma az egyik ilyen kérdésbe és annak megvilágosító (nem szándékos szóvicc) válaszába ássuk bele magunkat: Miért van az, hogy a fény sebessége vákuumban ~300 000 000 méter másodpercenként? Miért c?
A hullámhossztól és energiától függetlenül minden elektromágneses hullám ugyanolyan sebességgel mozog.
Képzeljük el, hogy van egy töltött vezeték, amely mindkét irányban végtelen hosszúságú. Mivel végtelen, nehéz arról beszélni, hogy mennyi teljes töltés van a dróton, ahogyan azt megtehetnénk, ha valami gömb alakú lenne. Ha azonban egy véges hosszúságú egységet vizsgálunk, akkor beszélhetünk például az egy méterre jutó töltésről vagy töltéssűrűségről.
Egy végtelen hosszúságú vezeték a hossza bármely pontjáról ugyanúgy néz ki, így amikor a vezetékben lévő töltés által létrehozott elektromos mező erősségéről gondolkodunk, hogy egy töltött részecske mennyire vonz vagy taszít egy töltött részecskét, az kizárólag a vezeték töltéssűrűségétől és a részecskének a vezetőtől való távolságától függ (valamint a közeg áteresztőképességétől, amelyben vagyunk, ami a mi célunkban a vákuum.). A drót körüli elektromos mező egyenlete az alábbiakban látható:
Most, a végtelen távolban valaki elkezdi behúzni ezt a drótot, és a tengelye mentén húzza. Minden gyakorlati szempontból ez a mozgás áramot hoz létre; ahelyett, hogy a drótban lévő töltéseket mozgatnánk (mintha az egyik végén a feszültséget változtatnánk), magát a drótot mozgatjuk, a benne lévő töltésekkel együtt. Hogy miért, azt remélhetőleg mindjárt meglátod.
Amint talán tudod, a huzalban folyó áram mágneses mezőt hoz létre, amely a huzal körül kering. Ennek a mágneses térnek az erőssége függ a huzaltól való távolságtól (d), de az áram erősségétől is, ami ebben az esetben a huzal töltéssűrűségének és a sebességnek a szorzata, amellyel a huzalt húzza.
Most képzeljük el, hogy van egy második ilyen huzal, amely párhuzamos az elsővel, ugyanolyan feszültséggel van feltöltve, és ugyanabba az irányba húzódik, ugyanolyan sebességgel. Mivel hasonló töltésűek, a két vezeték taszítani fogja egymást, az elektrosztatikus taszítás szétnyomja őket.
A két töltött tárgy közötti erő kiszámításakor a töltéseiket összeszorozzuk, ami a fenti lambda-négyzet kifejezéshez vezet (mivel mindkét vezeték töltéssűrűsége lambda).
A vezetékek statikus elektromos töltése arra készteti őket, hogy taszítsák egymást. Mivel azonban a huzalokat ugyanabba az irányba húzzák, gyakorlatilag mindegyikben van egy-egy áram, és az ezeket az áramokat kísérő mágneses mező. Amikor két áram ugyanabba az irányba mutat a párhuzamos vezetékekben, a mágneses mező vonzóerőt hoz létre a két vezeték között – minél gyorsabban haladnak, annál erősebb lesz ez a vonzóerő.
A vezetékek között mágnesesen létrehozott vonzóerő egyenlete.
Ha jól követed, látni fogod, hogy olyan forgatókönyvet állítottunk fel, amelyben a mágnesesség vonzóereje ellensúlyozza az e vezetékek közötti taszító elektromos erőt. Amint azonban a fenti egyenletekből láthatod, ennek a mágneses erőnek az erőssége attól függ, hogy milyen gyorsan mozognak a vezetékek, míg a taszító elektromos erő nem (innen az általános fizikai kifejezés, az elektrosztatikus). Milyen gyorsan kell tehát mozogniuk a vezetékeknek ahhoz, hogy az elektromos taszítóerőt a mágneses vonzás kioltsa? Ezt úgy tudjuk meg, ha a két erőegyenletet az alábbiak szerint egyenlővé tesszük egymással, majd megoldjuk a v egyenletet.
Egy kis algebra segítségével megszabadulhatunk a zárójelektől, és csökkenthetjük az egyenlet jobb oldalán lévő törtet, így kapjuk ezt:
Egy meglepő eredmény ennél a lépésnél az, hogy a töltéssűrűség kifejezés az egyenlet mindkét oldalán ugyanott szerepel, és ugyanarra a hatványra emelve, ami azt jelenti, hogy “ki lehet egyenlíteni” – a sebesség, amellyel a vezetékeknek mozogniuk kell ahhoz, hogy az elektromos és mágneses erő kiegyenlítődjön, egyáltalán nem függ attól, hogy milyen erősen töltöttek. A 2*pi*d tényező szintén kiiktatható, ami azt jelenti, hogy a vezetékek közötti távolság szintén lényegtelen ebben az egyenletben. Az összes felesleges tagot kiosztva az egyenlet a következővé válik:
és végül v-re megoldva a következő eredményt kapjuk:
Ha a vákuum permittivitásának és permeabilitásának tényleges számértékeit beillesztjük, az eredmény 299,792,400 méter másodpercenként – pontosan a fénysebesség!
Mit jelent ez? Egyrészt azt, hogy a valóságban soha nem tudnánk a drótokat elég gyorsan mozgatni ahhoz, hogy az elektromos taszításukat teljesen ellensúlyozza a mágneses vonzásuk, mivel egyetlen masszív tárgy sem tud fénysebességgel mozogni. Ennél is fontosabb azonban, hogy ez támpontot ad arra, hogy miért olyan a fénysebesség vákuumban, amilyen; ez az a sebesség, ahol az elektromos és mágneses erők kiegyenlítődnek, és egy stabil elektromágneses hullámcsomagot hoznak létre, amely a végtelenségig képes terjedni. Ha ennél lassabban haladnánk, a foton szétesne, ahogyan a drótokat is szétnyomná az elektromos taszítás. Ha ennél gyorsabban haladnának, a mágnesesség legyőzné ezt a taszítást és összehúzná őket, összeomlasztva a rendszert. A középiskolai szintű matematikánál nem többel könnyen megmutatható, hogy a fény sebessége egy közegben (vagy az űr vákuumában) elkerülhetetlenül a közeg elektromos áteresztőképességének és mágneses permeabilitásának következményeként adódik.
Tudom, hogy ez szörnyen matekos volt egy blogbejegyzéshez (mindezt házi feladatként kellett megoldanunk a főiskolán), de remélhetőleg bepillantást engedett a fizika egyik legizgalmasabb és legmegrázóbb részébe – a lehetőségbe, hogy szó szerint egyetemes igazságokat vezethetünk le és fedezhetünk fel csupán egy kis képzelőerővel és matematikával.