A véletlen mátrixelmélet abból a feltételezésből indul ki, hogy egy komplex rendszer nagyléptékű viselkedését a szimmetriák és a paraméterek statisztikai tulajdonságainak kell irányítaniuk, és viszonylag érzéketlennek kell lennie az egyes kölcsönható elemek pontos részleteire. Az elmélet célja többnyire a véletlen mátrixok sajátértékeinek és sajátvektorainak statisztikájának meghatározása a nagyméretű határértékben. A korai, az atomfizikából származó munkák olyan együttesekre összpontosítottak, amelyek egyszerre rendelkeznek hermitiánus szimmetriával és all-to-all kölcsönhatásokkal, hasonlóan a statisztikai fizika középmező modelljeihez. Az all-to-all feltételezés lazítása topológiai rendezetlenséget hoz létre, és olyan ritka véletlen mátrixokból álló együttesekhez vezet, amelyeknek sok nullás mátrixbejegyzése van. Az ilyen mátrixok olyan komplex rendszereket modelleznek, ahol egy adott szabadsági fok véges számú másikkal lép kölcsönhatásba, és természetesen olyan rendszerekkel kapcsolatban merülnek fel, mint a neurális hálózatok vagy az ökoszisztémák.
A széles körű jelentőségük ellenére azonban a ritka, nem hermitikus véletlen mátrixok csak az elmúlt évtizedben részesültek jelentős vizsgálatban, mivel a véletlen mátrixelmélet standard elemzési módszerei nem alkalmazhatók. Az ilyen mátrixokra vonatkozó szigorú eredmények szinte nem léteznek, mivel nagy mátrixméreteknél nagyon nehéz bizonyítani a sajátértékek és sajátvektorok tulajdonságainak determinisztikus határértékhez való konvergenciáját. A legújabb kutatások azonban új megközelítésekkel előrelépést értek el. Egy új cikkben Fernando Metz, az LML munkatársa, Izaak Neri (King’s College London) és Tim Rogers (University of Bath) munkatársaival együtt áttekintik a ritka, nem hermitikus véletlen mátrixok spektrumának vizsgálatában elért elméleti eredményeket, különös tekintettel a véletlen mátrixszámítások és a rendezetlen spinrendszerek statisztikai mechanikája közötti gyümölcsöző analógián alapuló pontos megközelítésekre. Mint mutatják, egyszerű modellek esetén ezek a módszerek analitikus eredményekhez vezetnek a ritka nem-Hermit-féle véletlen mátrixok spektrális tulajdonságaira vonatkozóan. Bonyolultabb modellek esetén a spektrális tulajdonságok a nagyméretű határértékben numerikus algoritmusok segítségével is kiszámíthatók.
Metz és munkatársai azzal zárják áttekintésüket, hogy a ritka nem-Hermit-féle véletlen mátrixok elmélete a klasszikus véletlen mátrixelmélethez képest még gyerekcipőben jár, és számos nyitott kérdés van. Ezek közé tartozik az univerzalitás kérdése. A véletlen mátrixelmélet iránti érdeklődés nagymértékben függ számos spektrális megfigyelhető univerzális viselkedésétől, ami lehetővé teszi komplex dinamikai rendszerek stabilitásának vizsgálatát. A ritka véletlen mátrixok esetében ez a lehetőség a gráfszerkezet erős lokális ingadozásai miatt elveszni látszik. Kiderül azonban, hogy a ritka nem hermitikus véletlen mátrixok sok együttese mutat néhány univerzális tulajdonságot, mint például a spektrális rés, a legnagyobb valós résszel rendelkező sajátérték és az ennek a sajátértéknek megfelelő sajátvektor momentumok. Ezek a spektrális tulajdonságok meghatározzák a komplex rendszerek stabilitását és állandósult dinamikáját. Ezért úgy tűnik, hogy van remény arra, hogy univerzális viselkedést találjunk a ritka mátrixok számára, ha a megfelelő megfigyelhetőségeket vizsgáljuk, ami a nagy dinamikai rendszerek univerzalitásának jobb megértéséhez vezethet.
A cikk előnyomtatása elérhető a https://arxiv.org/abs/1811.10416
címen.