Hoewel zowel Descartes als Fermat voorstelden drie coördinaten te gebruiken om krommen en oppervlakken in de ruimte te bestuderen, ontwikkelde de driedimensionale analytische meetkunde zich traag tot ongeveer 1730, toen de Zwitserse wiskundigen Leonhard Euler en Jakob Hermann en de Franse wiskundige Alexis Clairaut algemene vergelijkingen voor cilinders, kegels en omwentelingsoppervlakken opstelden. Zo toonden Euler en Hermann aan dat de vergelijking f(z) = x2 + y2 het oppervlak geeft dat ontstaat door de kromme f(z) = x2 om de z-as te draaien (zie de figuur, die de elliptische paraboloïde z = x2 + y2 voorstelt).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Newton deed de opmerkelijke bewering dat alle vlakke kubieken uit die in zijn derde standaardvorm ontstaan door projectie tussen vlakken. Dit werd in 1731 onafhankelijk van elkaar bewezen door Clairaut en de Franse wiskundige François Nicole. Clairaut verkreeg alle kubieken van Newtons vier standaardvormen als doorsneden van de kubus conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 bestaande uit de lijnen in de ruimte die de oorsprong (0, 0, 0) verbinden met de punten op de derde standaardkubus in het vlak z = 1.
In 1748 gebruikte Euler vergelijkingen voor rotaties en translaties in de ruimte om het algemene kwadratische vlakax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 zo te transformeren dat zijn hoofdassen samenvallen met de coördinatenassen. Euler en de Franse wiskundigen Joseph-Louis Lagrange en Gaspard Monge maakten de analytische meetkunde onafhankelijk van de synthetische (niet-analytische) meetkunde.
Vectoranalyse
In de Euclidische ruimte van elke dimensie kunnen vectoren – gerichte lijnsegmenten – door coördinaten worden gespecificeerd. Een n-tupel (a1, …, an) stelt de vector in de n-dimensionale ruimte voor die zich op de reële getallen a1, …, an op de coördinatenassen projecteert.
In 1843 stelde de Ierse wiskundige-astronoom William Rowan Hamilton vier-dimensionale vectoren algebraïsch voor en vond de quaternionen uit, de eerste niet-commutatieve algebra die uitvoerig werd bestudeerd. De vermenigvuldiging van de quaternionen met een coördinaatnulpunt bracht Hamilton tot de ontdekking van fundamentele bewerkingen op vectoren. Niettemin vonden de wiskundige natuurkundigen de in de vectoranalyse gebruikte notatie flexibeler – zij is met name gemakkelijk uit te breiden tot oneindig-dimensionale ruimten. De quaternionen bleven algebraïsch interessant en werden in de jaren zestig opgenomen in bepaalde nieuwe modellen voor deeltjesfysica.
Projecties
Toen de beschikbare computerkracht in de laatste decennia van de 20e eeuw exponentieel groeide, werden computeranimatie en computerondersteund ontwerpen alomtegenwoordig. Deze toepassingen zijn gebaseerd op driedimensionale analytische meetkunde. Coördinaten worden gebruikt om de randen of parametrische krommen te bepalen die de grenzen vormen van de oppervlakken van virtuele objecten. Vectoranalyse wordt gebruikt om belichting te modelleren en realistische schaduwen van oppervlakken te bepalen.
Al in 1850 had Julius Plücker analytische en projectieve meetkunde verenigd door homogene coördinaten te introduceren die punten in het Euclidische vlak (zie Euclidische meetkunde) en op oneindig op een uniforme manier als driehoeken voorstellen. Projectieve transformaties, die inverteerbare lineaire veranderingen van homogene coördinaten zijn, worden gegeven door matrixvermenigvuldiging. Hierdoor kunnen grafische computerprogramma’s op efficiënte wijze de vorm of het aanzicht van afgebeelde objecten veranderen en ze vanuit de driedimensionale virtuele ruimte projecteren op het tweedimensionale kijkscherm.
Robert Alan BixHarry Joseph D’Souza