Banachruimte

Lineaire operatoren, isomorphismenEdit

Als X en Y genormeerde ruimten zijn over hetzelfde grondveld K, wordt de verzameling van alle continue K-lineaire functies T : X → Y aangeduid met B(X, Y). In oneindig-dimensionale ruimten zijn niet alle lineaire functies continu. Een lineaire afbeelding van een genormeerde ruimte X naar een andere genormeerde ruimte is continu als en slechts als ze begrensd is op de gesloten eenheidsbal van X. Zo kan men de vectorruimte B(X, Y) de operator norm

‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∈ X , ‖ x ‖ X ≤ 1 } geven. {Displaystyle ‖ = links{Tx|_{Y}mid x in X,\x|_{X}leq 1 rechts}.}

Voor Y een Banachruimte is de ruimte B(X, Y) een Banachruimte met betrekking tot deze norm.

Als X een Banachruimte is, vormt de ruimte B(X) = B(X, X) een unitale Banachalgebra; de vermenigvuldigingsoperatie wordt gegeven door de samenstelling van lineaire functies.

Als X en Y genormeerde ruimten zijn, zijn zij isomorfe genormeerde ruimten als er een lineaire bijectie T : X → Y bestaat zodat T en zijn inverse T -1 continu zijn. Als een van de twee ruimten X of Y volledig is (of reflexief, scheidbaar, enz.) dan is de andere ruimte dat ook. Twee genormeerde ruimten X en Y zijn isometrisch isomorf als bovendien T een isometrie is, d.w.z, ||T(x)|| = ||x|| voor elke x in X. De Banach-Mazur afstand d(X, Y) tussen twee isomorfe maar niet isometrische ruimten X en Y geeft een maat voor hoeveel de twee ruimten X en Y verschillen.

BasisbegrippenEdit

Het cartesische product X × Y van twee genormeerde ruimten is niet canoniek voorzien van een norm. Er worden echter verschillende equivalente normen gebruikt, zoals

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {\an5}(x,y)|_{1}=|x|+|y|,\qquad |(x,y)|_{\infty }=\max(|x||,\y|)}

en geven aanleiding tot isomorfe genormeerde ruimten. In die zin is het product X × Y (of de directe som X ⊕ Y) volledig als en slechts als de twee factoren volledig zijn.

Als M een gesloten lineaire deelruimte is van een genormeerde ruimte X, dan is er een natuurlijke norm op de quotiëntruimte X / M,

‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {\a6} ‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ .

Het quotient X / M is een Banachruimte als X compleet is. De quotientkaart van X naar X / M, die x in X naar zijn klasse x + M stuurt, is lineair, onto en heeft norm 1, behalve wanneer M = X, in welk geval het quotient de nulruimte is.

De gesloten lineaire deelruimte M van X heet een gecomplementeerde deelruimte van X te zijn als M het bereik is van een begrensde lineaire projectie P van X op M. In dat geval is de ruimte X isomorf met de directe som van M en Ker(P), de kern van de projectie P.

Voorstel dat X en Y Banachruimten zijn en dat T ∈ B(X, Y). (T)\\overset {T_{1}}{longrightarrow }} Y}

waar de eerste functie π de quotiëntfunctie is, en de tweede functie T1 elke klasse x + Ker(T) in het quotiënt naar het beeld T(x) in Y stuurt. Dit is goed gedefinieerd omdat alle elementen in dezelfde klasse hetzelfde beeld hebben. De afbeelding T1 is een lineaire bijectie van X / Ker(T) op het bereik T(X), waarvan de inverse niet begrensd hoeft te zijn.

Klassieke ruimtenEdit

Basisvoorbeelden van Banachruimten zijn o.a.: de Lp-ruimten en hun speciale gevallen, de rijenruimten ℓp die bestaan uit scalaire rijen geïndexeerd door N; onder hen de ruimte ℓ1 van absoluut sommeerbare rijen en de ruimte ℓ2 van kwadratisch sommeerbare rijen; de ruimte c0 van rijen die naar nul neigen en de ruimte ℓ∞ van begrensde rijen; de ruimte C(K) van continue scalaire functies op een compacte Hausdorff-ruimte K, voorzien van de max norm,

‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } , f ∈ C ( K ) . {Displaystyle \|f_{C(K)}=\max {|f(x)|:x in K},\quad f in C(K).}

Volgens de Banach-Mazur stelling is elke Banach ruimte isometrisch isomorf tot een deelruimte van een zekere C(K). Voor elke scheidbare Banachruimte X is er een gesloten deelruimte M van ℓ1 zo dat X ≅ ℓ1/M.

Elke Hilbertruimte dient als voorbeeld van een Banachruimte. Een Hilbertruimte H op K = R, C is compleet voor een norm van de vorm

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {\displaystyle \x|_{H}={\sqrt {langle x,xhoekle }},}

waar

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K {{{{{{{{{{{{{{{}}}}} }

is het inwendige product, lineair in zijn eerste argument dat voldoet aan het volgende:

∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. {Stijl: begin{uitgelijnd}:voor alle x,y in H:vierkantje y,xhoek &={overlijlijntje {langle x,yhoekje }},voor alle x in H:vierkantje x,xhoekje &0,linksrechtse pijl x&=0.einde{uitgelijnd}}

Bijv. de ruimte L2 is een Hilbertruimte.

De Hardyruimten, de Sobolevruimten zijn voorbeelden van Banachruimten die verwant zijn aan Lp-ruimten en extra structuur hebben. Ze zijn belangrijk in verschillende takken van analyse, Harmonische analyse en Partiële differentiaalvergelijkingen onder andere.

Banachalgebra’sEdit

Een Banachalgebra is een Banachruimte A over K = R of C, samen met een structuur van algebra over K, zodanig dat de productkaart A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A continu is. Er kan een equivalente norm op A gevonden worden zodat ||ab|| ≤ ||a|| ||b|| voor alle a, b ∈ A.

VoorbeeldenEdit

• De Banachruimte C(K), met het puntsgewijze product, is een Banachalgebra.
• De schijfalgebra A(D) bestaat uit functies die holomorf zijn in de open eenheidsschijf D ⊂ C en continu op de sluiting ervan: D. Uitgerust met de max norm op D is de schijfalgebra A(D) een gesloten deelalgebra van C(D).
• De Wiener-algebra A(T) is de algebra van functies op de eenheidscirkel T met absoluut convergente Fourierreeksen. Via de kaart die een functie op T associeert met de rij van haar Fourier-coëfficiënten is deze algebra isomorf met de Banach-algebra ℓ1(Z), waarbij het product de convolutie van reeksen is.
• Voor elke Banachruimte X is de ruimte B(X) van begrensde lineaire operatoren op X, met de samenstelling van de functies als product, een Banachalgebra.
• Een C*-algebra is een complexe Banachalgebra A met een antilineaire involutie a ↦ a∗ zodanig dat ||a∗a|| = ||a||2. De ruimte B(H) van begrensde lineaire operatoren op een Hilbertruimte H is een fundamenteel voorbeeld van een C*-algebra. De stelling van Gelfand-Naimark stelt dat elke C*-algebra isometrisch isomorf is voor een C*-subalgebra van een zekere B(H). De ruimte C(K) van complexe continue functies op een compacte Hausdorff-ruimte K is een voorbeeld van een commutatieve C*-algebra, waarbij de involutie aan elke functie f zijn complexe conjugaat f associeert.

Duale ruimteEdit

Als X een genormeerde ruimte is en K het onderliggende veld (ofwel de reële ofwel de complexe getallen), dan is de continue dubbelruimte de ruimte van continue lineaire maps van X in K, ofwel continue lineaire functionalen. De notatie voor de continue duale is in dit artikel X ′ = B(X, K). Omdat K een Banachruimte is (met de absolute waarde als norm), is de duale X ′ een Banachruimte, voor elke genormeerde ruimte X.

Het belangrijkste gereedschap om het bestaan van continue lineaire functionalen te bewijzen is de stelling van Hahn-Banach.

Stelling van Hahn-Banach. Zij X een vectorruimte over het veld K = R, C. Zij voorts

• Y ⊆ X een lineaire deelruimte,
• p : X → R een sublineaire functie zijn en
• f : Y → K een lineaire functie zijn zodat Re( f (y)) ≤ p(y) voor alle y in Y.

Dan bestaat er een lineaire functie F : X → K zodat F | Y = f , en ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ) ≤ p ( x ) . {Stijl F|_{Y}=f,‖quad {{en}}quad ‖ voor alle x in X,‖operatornaam {Re} (F(x))‖ p(x).}

In het bijzonder kan elke continue lineaire functie op een deelruimte van een genormeerde ruimte continu worden uitgebreid tot de hele ruimte, zonder de norm van de functie te verhogen. Een belangrijk speciaal geval is het volgende: voor elke vector x in een genormeerde ruimte X bestaat er een continue lineaire functie f op X zo dat

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {Displaystyle f(x)=x|X|_{X},\quad \|f|_{X’}leq 1.}

Wanneer x niet gelijk is aan de 0-vector, moet de functie f norm één hebben, en heet ze een normerende functie voor x.

De scheidingsstelling van Hahn-Banach stelt dat twee disjuncte niet-lege convexe verzamelingen in een reële Banachruimte, waarvan er een open is, gescheiden kunnen worden door een gesloten affien hypervlak. De open convexe verzameling ligt strikt aan één kant van het hypervlak, de tweede convexe verzameling ligt aan de andere kant maar kan het hypervlak raken.

Een deelverzameling S in een Banachruimte X is totaal als de lineaire overspanning van S dicht is in X. De deelverzameling S is totaal in X als en slechts als de enige continue lineaire functie die op S verdwijnt de 0-functie is: deze gelijkstelling volgt uit de Hahn-Banach stelling.

Als X de directe som is van twee gesloten lineaire deelruimten M en N, dan is de duale X ′ van X isomorf aan de directe som van de dualen van M en N. Indien M een gesloten lineaire deelruimte in X is, kan men de orthogonaal van M in de duale associëren,

M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } . {Displaystyle M^{perp }=-links{x’′ in X’:x'(m)=0,′vooralle m’′ in M rechts}.}

De orthogonale M ⊥ is een gesloten lineaire deelruimte van de duale. De duale van M is isometrisch isomorf voor X ′ / M ⊥. De duale van X / M is isometrisch isomorf aan M ⊥.

De duale van een scheidbare Banachruimte hoeft niet scheidbaar te zijn, maar:

Stelling. Zij X een genormeerde ruimte. Als X ′ scheidbaar is, dan is X scheidbaar.

Wanneer X ′ scheidbaar is, kan met bovenstaand criterium voor totaliteit het bestaan van een aftelbare totale deelverzameling in X worden bewezen.

Zwakke topologieënEdit

De zwakke topologie op een Banachruimte X is de grofste topologie op X waarvoor alle elementen x ′ in de continue duale ruimte X ′ continu zijn. De normtopologie is dus fijner dan de zwakke topologie. Uit de Hahn-Banachscheidingstheorema volgt dat de zwakke topologie Hausdorff is, en dat een norm-gesloten convexe deelverzameling van een Banachruimte ook zwak gesloten is. Een normcontinue lineaire kaart tussen twee Banachruimten X en Y is ook zwak continu, d.w.z. continu vanuit de zwakke topologie van X naar die van Y.

Als X oneindig-dimensionaal is, bestaan er lineaire kaarten die niet continu zijn. De ruimte X∗ van alle lineaire maps van X naar het onderliggende veld K (deze ruimte X∗ wordt de algebraïsche duale ruimte genoemd, ter onderscheiding van X ′) induceert ook een topologie op X die fijner is dan de zwakke topologie, en veel minder gebruikt wordt in de functionaalanalyse.

Op een duale ruimte X ′ bestaat een topologie die zwakker is dan de zwakke topologie van X ′, de zogenaamde zwakke* topologie. Het is de grofste topologie op X ′ waarvoor alle evaluatiemappen x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, continu zijn. Het belang ervan komt van de Banach-Alaoglu stelling.

Banach-Alaoglu Stelling. Zij X een genormeerde vectorruimte. Dan is de gesloten eenheidsbal B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′|| ≤ 1} van de duale ruimte is compact in de zwakke* topologie.

De Banach-Alaoglu stelling hangt samen met de stelling van Tychonoff over oneindige producten van compacte ruimten. Als X deelbaar is, is de eenheidsbol B ′ van de duale een metrizable compact in de zwakke* topologie.

Voorbeelden van duale ruimtenEdit

De duale van c0 is isometrisch isomorf met ℓ1: voor elke begrensde lineaire functie f op c0 is er een uniek element y = {yn} ∈ ℓ1 zo dat

f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , en ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {Displaystyle f(x)=Som _{n} in \mathbf {N} }x_{n}y_{n},\qquad x={x_{n}}\in c_{0},\\\\text{en}}}

De duale van ℓ1 isometrisch isomorf aan ℓ∞. De duale van Lp() is isometrisch isomorf met Lq() als 1 ≤ p < ∞ en 1/p + 1/q = 1.

Voor elke vector y in een Hilbertruimte H is de afleiding

x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {{y}(x)=}lusle x,yrangle }

definieert een continue lineaire functie fy op H. De Riesz representatietheorema stelt dat elke continue lineaire functie op H de vorm fy heeft voor een uniek gedefinieerde vector y in H. De afbeelding y ∈ H → fy is een antilineaire isometrische bijectie van H op zijn duale H ′. Wanneer de scalaren reëel zijn, is deze functie een isometrisch isomorfisme.

Wanneer K een compacte Hausdorff topologische ruimte is, is de duale M(K) van C(K) de ruimte van Radon maten in de zin van Bourbaki. De deelverzameling P(K) van M(K) bestaande uit niet-negatieve maten van massa 1 (kansmaten) is een convexe w*-gesloten deelverzameling van de eenheidsbal van M(K). De extreme punten van P(K) zijn de Dirac-maten op K. De verzameling Dirac-maten op K, voorzien van de w*-topologie, is homeomorf met K.

Banach-Steen Stelling. Als K en L compacte Hausdorffruimten zijn en als C(K) en C(L) isometrisch isomorf zijn, dan zijn de topologische ruimten K en L homeomorf.

Het resultaat is door Amir en Cambern uitgebreid tot het geval dat de multiplicatieve Banach-Mazur afstand tussen C(K) en C(L) < 2 is. De stelling is niet meer waar als de afstand = 2 is.

In de commutatieve Banachalgebra C(K) zijn de maximale idealen juist kernels van Dirac mesuren op K,

I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } , x ∈ K . {Displaystyle I_{x}=ker \delta _{x}={f in C(K):f(x)=0},\quad x in K.}

Meer in het algemeen kunnen volgens de stelling van Gelfand-Mazur de maximale idealen van een unitale commutatieve Banach-algebra worden geïdentificeerd met de karakters van die algebra – niet alleen als verzamelingen maar ook als topologische ruimten: de eerste met de hull-kerneltopologie en de tweede met de w*-topologie. Bij deze identificatie kan de maximale ideale ruimte gezien worden als een w*-compacte deelverzameling van de eenheidsbol in de duale A ′.

Stelling. Als K een compacte Hausdorff-ruimte is, dan is de maximale ideale ruimte Ξ van de Banachalgebra C(K) homeomorf met K.

Niet elke uninitiële commutatieve Banachalgebra is van de vorm C(K) voor een of andere compacte Hausdorff-ruimte K. Deze stelling geldt echter wel als men C(K) plaatst in de kleinere categorie van commutatieve C*-algebra’s. De representatietheorema van Gelfand voor commutatieve C*-algebra’s stelt dat elke commutatieve unicale C*-algebra A isometrisch isomorf is aan een C(K)-ruimte. De Hausdorff compacte ruimte K is hier weer de maximaal ideale ruimte, ook wel het spectrum van A genoemd in de C*-algebra context.

BidualEdit

Als X een genormeerde ruimte is, wordt de (continue) duale X ′′ van de duale X ′ bidual genoemd, of tweede duale van X. Voor elke genormeerde ruimte X is er een natuurlijke functie,

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\begin{cases}F_{X}:Xtot X”†F_{X}(x)(f)=f(x)&voor alle x in X,†voor alle f in X’†einde{cases}}

Dit definieert FX(x) als een continue lineaire functie op X ′, d.w.z., een element van X ′′. De kaart FX : x → FX(x) is een lineaire kaart van X naar X ′′. Ten gevolge van het bestaan van een normeringsfunctie voor elke x in X, is deze kaart FX isometrisch, dus injectief.

Bij voorbeeld, de duale van X = c0 wordt geïdentificeerd met ℓ1, en de duale van ℓ1 wordt geïdentificeerd met ℓ∞, de ruimte van begrensde scalaire reeksen. Onder deze identificaties is FX de inclusiekaart van c0 naar ℓ∞. Zij is inderdaad isometrisch, maar niet onto.

Als FX surjectief is, dan heet de genormeerde ruimte X reflexief (zie verder). Omdat het de duale van een genormeerde ruimte is, is het bidual X ′′ volledig, dus elke reflexieve genormeerde ruimte is een Banachruimte.

Met de isometrische inbedding FX is het gebruikelijk een genormeerde ruimte X te beschouwen als een deelverzameling van haar bidual. Als X een Banachruimte is, beschouwt men haar als een gesloten lineaire deelruimte van X ′′. Als X niet reflexief is, is de eenheidsbol van X een eigen deelverzameling van de eenheidsbol van X ′′. De stelling van Goldstine stelt dat de eenheidsbol van een genormeerde ruimte zwak*dicht is in de eenheidsbol van de bidiaal. Met andere woorden, voor elke x ′′ in de biduele, bestaat er een net {xj} in X zodat

sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . {x'(f)=lim _{j}f(x_{j}),\quad f(x_{j}),\in X’.}

Het net kan worden vervangen door een zwak*-convergente rij als de duale X ′ scheidbaar is. Anderzijds kunnen elementen van het bidual van ℓ1 die niet in ℓ1 zitten geen zwak*-convergente sequenties in ℓ1 zijn, want ℓ1 is zwak*-convergent.

De stellingen van BanachEdit

Hier volgen de belangrijkste algemene resultaten over Banachruimten die teruggaan tot de tijd van Banachs boek (Banach (1932)) en die verwant zijn aan de categorie-theorema van Baire. Volgens deze stelling kan een volledige metrische ruimte (zoals een Banachruimte, een Fréchetruimte of een F-ruimte) niet gelijk zijn aan een unie van ontelbaar veel gesloten deelverzamelingen met lege binnenruimten. Daarom kan een Banachruimte niet gelijk zijn aan een unie van telbaar veel gesloten deelruimten, tenzij zij reeds gelijk is aan één van deze deelruimten; een Banachruimte met een telbare Hamelbasis is eindig-dimensionaal.

Banach-Steinhaus Stelling. Zij X een Banachruimte en Y een genormeerde vectorruimte. Stel dat F een verzameling continue lineaire operatoren is van X naar Y. Het uniforme begrenzingsprincipe zegt dat als voor alle x in X geldt supT∈F ||T(x)||Y < ∞, dan geldt supT∈F ||T|Y < ∞.

De Banach-Steinhaus stelling is niet beperkt tot Banachruimten. Zij kan bijvoorbeeld worden uitgebreid tot het geval waarin X een Fréchetruimte is, mits de conclusie als volgt wordt gewijzigd: onder dezelfde hypothese bestaat er een buurt U van 0 in X zo dat alle T in F uniform begrensd zijn op U,

sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {Displaystyle \sup _{T in F}\sup _{x in U};\|T(x)\|_{Y}<\infty .}

De Open Mapping Stelling. Stel X en Y zijn Banachruimten en T : X → Y is een surjectieve continue lineaire operator, dan is T een open kaart. Corollarium. Elke één-op-één begrensde lineaire operator van een Banachruimte op een Banachruimte is een isomorfisme. De Eerste Isomorfisme Stelling voor Banachruimten. Veronderstel dat X en Y Banachruimten zijn en dat T ∈ B(X, Y). Stel verder dat het bereik van T gesloten is in Y. Dan is X/ Ker(T) isomorf met T(X).

Dit resultaat is een direct gevolg van de voorgaande Banach isomorfisme stelling en van de canonieke factorisatie van begrensde lineaire maps.

Corollarium. Als een Banachruimte X de interne directe som is van gesloten deelruimten M1, …, Mn, dan is X isomorf met M1 ⊕ … ⊕ Mn.

Dit is een ander gevolg van de isomorfisme-theorie van Banach, toegepast op de continue bijectie van M1 ⊕ … ⊕ Mn op X die (m1, …, mn) naar de som m1 + … + mn.

De Gesloten Grafiek Stelling. Zij T : X → Y een lineaire afbeelding tussen Banachruimten. De grafiek van T is gesloten in X × Y als en slechts als T continu is.

ReflexiviteitEdit

De genormeerde ruimte X heet reflexief als de natuurlijke kaart

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {begin{cases}F_{X}:X”naar X”′F_{X}(x)(f)=f(x)&voor alle x in X,′voor alle f in X”′eind{cases}}

is surjectief. Reflexief genormeerde ruimten zijn Banachruimten.

Stelling. Als X een reflexieve Banachruimte is, is elke gesloten deelruimte van X en elke quotiëntruimte van X reflexief.

Dit is een gevolg van de Hahn-Banach stelling. Verder is volgens de open mapping stelling, als er een begrensde lineaire operator is van de Banachruimte X op de Banachruimte Y, Y reflexief.

Stelling. Als X een Banachruimte is, dan is X reflexief als en slechts als X ′ reflexief is. Corollarium. Zij X een reflexieve Banach ruimte. Dan is X scheidbaar als en slechts als X ′ scheidbaar is.

Inderdaad, als de duale Y ′ van een Banachruimte Y scheidbaar is, dan is Y scheidbaar. Als X reflexief en scheidbaar is, dan is de duale van X ′ scheidbaar, dus X ′ is scheidbaar.

Stelling. Stel dat X1, …, Xn genormeerde ruimten zijn en dat X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Dan is X reflexief als en slechts als elke Xj reflexief is.

Hilbertruimten zijn reflexief. De Lp-ruimten zijn reflexief als 1 < p < ∞. Meer algemeen zijn uniform convexe ruimten reflexief, door de stelling van Milman-Pettis. De ruimten c0, ℓ1, L1(), C() zijn niet reflexief. In deze voorbeelden van niet-reflexieve ruimten X is het quotiënt X ′′ “veel groter” dan X. Namelijk, onder de natuurlijke isometrische inbedding van X in X ′′ gegeven door de Hahn-Banach stelling, is het quotiënt X ′′ / X oneindig-dimensionaal, en zelfs niet-scheidbaar. Robert C. James heeft echter een voorbeeld geconstrueerd van een niet-reflexieve ruimte, gewoonlijk “de James-ruimte” genoemd en aangeduid met J, zodanig dat het quotiënt J ′′ / J ééndimensionaal is. Bovendien is deze ruimte J isometrisch isomorf met zijn bidual.

Stelling. Een Banachruimte X is reflexief als en slechts als haar eenheidsbol compact is in de zwakke topologie.

Wanneer X reflexief is, volgt daaruit dat alle gesloten en begrensde convexe deelverzamelingen van X zwak compact zijn. In een Hilbert-ruimte H wordt de zwakke compactheid van de eenheidsbol heel vaak op de volgende manier gebruikt: elke begrensde rij in H heeft zwak convergente subsequenties.

Zwakke compactheid van de eenheidsbol is een hulpmiddel om in reflexieve ruimten oplossingen te vinden voor bepaalde optimalisatieproblemen. Bijvoorbeeld, elke convexe continue functie op de eenheidsbol B van een reflexieve ruimte bereikt zijn minimum op een bepaald punt in B.

Als speciaal geval van het voorgaande resultaat, wanneer X een reflexieve ruimte over R is, bereikt elke continue lineaire functie f in X ′ zijn maximum || f || op de eenheidsbol van X. De volgende stelling van Robert C. James geeft een omgekeerde verklaring.

James’ Stelling. Voor een Banachruimte zijn de volgende twee eigenschappen equivalent:

• X is reflexief.
• voor alle f in X ′ bestaat er x in X met ||x|| ≤ 1, zodat f (x) = || f ||.

De stelling kan uitgebreid worden om een karakterisering te geven van zwak compacte convexe verzamelingen.

Op elke niet-reflexieve Banachruimte X bestaan continue lineaire functionalen die niet normbevestigend zijn. De stelling van Bishop-Phelps stelt echter dat normbevattende functies normdicht zijn in de duale X ′ van X.

Zwakke convergenties van reeksenEdit

Een reeks {xn} in een Banachruimte X is zwak convergent naar een vector x ∈ X als f (xn) convergeert naar f (x) voor elke continue lineaire functie f in de duale X ′. De rij {xn} is een zwakke Cauchy-reeks indien f (xn) convergeert naar een scalaire limiet L( f ), voor elke f in X ′. Een rij { fn } in het duale X ′ is zwak* convergent naar een functie f ∈ X ′ als fn (x) convergeert naar f (x) voor elke x in X. Zwakke Cauchy-reeksen, zwak convergente en zwak* convergente reeksen zijn normgebonden, als gevolg van de Banach-Steinhaus stelling.

Wanneer de rij {xn} in X een zwak Cauchy-rij is, definieert de limiet L hierboven een begrensde lineaire functie op het duale X ′, d.w.z, een element L van de bidual van X, en L is de limiet van {xn} in de zwakke*-topologie van de bidual. De Banachruimte X is zwak volgordelijk compleet als elke zwak Cauchy-sequentie zwak convergent is in X. Uit de voorgaande discussie volgt dat reflexieve ruimten zwak volgordelijk compleet zijn.

Stelling. Voor elke maat μ is de ruimte L1(μ) zwak opeenvolgend compleet.

Een orthonormale rij in een Hilbertruimte is een eenvoudig voorbeeld van een zwak convergente rij, met limiet gelijk aan de 0-vector. De eenheidsvectorbasis van ℓp, 1 < p < ∞, of van c0, is een ander voorbeeld van een zwak nul-sequentie, d.w.z. een sequentie die zwak convergeert naar 0. Voor elke zwak nul-sequentie in een Banach-ruimte bestaat er een sequentie van convexe combinaties van vectoren uit de gegeven sequentie die norm-convergeert naar 0.

De eenheidsvectorbasis van ℓ1 is niet zwak Cauchy. Zwakke Cauchy-reeksen in ℓ1 zijn zwak convergent, want L1-ruimten zijn zwak volgordelijk compleet. Eigenlijk zijn zwak convergente rijen in ℓ1 norm convergent. Dit betekent dat ℓ1 voldoet aan de eigenschap van Schur.

Resultaten met betrekking tot de ℓ1 basisEdit

Weakly Cauchy sequenties en de ℓ1 basis zijn de tegengestelde gevallen van de dichotomie die in het volgende diepe resultaat van H. P. Rosenthal wordt gesteld.

Stelling. Zij {xn} een begrensde rij in een Banach ruimte. Ofwel {xn} heeft een zwakke Cauchy subsequentie, ofwel zij laat een subsequentie toe equivalent aan de standaard eenheidsvectorbasis van ℓ1.

Een aanvulling op dit resultaat is te danken aan Odell en Rosenthal (1975).

Stelling. Zij X een scheidbare Banachruimte. Het volgende is equivalent:

• De ruimte X bevat geen gesloten deelruimte die isomorf is aan ℓ1.
• Elk element van de bidual X ′′ is de zwakke*-limiet van een rij {xn} in X.

Op grond van de stelling van Goldstine is elk element van de eenheidsbol B ′′ van X ′′ de zwakke*-limiet van een net in de eenheidsbol van X. Als X geen ℓ1 bevat, is elk element van B ′′ zwakke*-limiet van een rij in de eenheidsbal van X.

Wanneer de Banachruimte X deelbaar is, is de eenheidsbol van de duale X ′, voorzien van de zwakke*-topologie, een metrizable compacte ruimte K, en elk element x ′′ in de bidual X ′′ definieert een begrensde functie op K:

x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ″ ‖ x ″ ‖ . {x’in K’mapsto x”(x’),\quad \left|x”(x’)right|\leq \left|x”right|.}

Deze functie is continu voor de compacte topologie van K als en slechts als x ′′ werkelijk in X ligt, beschouwd als deelverzameling van X ′′. Neem verder voor de rest van de paragraaf aan dat X niet ℓ1 bevat. Door het voorgaande resultaat van Odell en Rosenthal is de functie x ′′ de puntsgewijze limiet op K van een rij {xn} ⊂ X van continue functies op K, het is dus een functie van de eerste Baire klasse op K. De eenheidsbal van het biduaal is een puntsgewijze compacte deelverzameling van de eerste Baire klasse op K.

Opeenvolgingen, zwakke en zwakke* compactheidEdit

Wanneer X deelbaar is, is de eenheidsbol van de duale zwak*-compact door Banach-Alaoglu en metrizable voor de zwakke* topologie, dus elke begrensde rij in de duale heeft zwak* convergente subsequenties. Dit geldt voor scheidbare reflexieve ruimten, maar in dit geval geldt meer, zoals hieronder gesteld.

De zwakke topologie van een Banachruimte X is metrizable als en slechts als X eindig-dimensionaal is. Als de duale X ′ scheidbaar is, is de zwakke topologie van de eenheidsbol van X metrizabel. Dit geldt in het bijzonder voor scheidbare reflexieve Banachruimten. Hoewel de zwakke topologie van de eenheidsbol in het algemeen niet metrizabel is, kan men de zwakke compactheid karakteriseren met behulp van volgordes.

Eberlein-Šmulian stelling. Een verzameling A in een Banachruimte is relatief zwak compact als en slechts als elke rij {an} in A een zwak convergente subsequentie heeft.

Een Banachruimte X is reflexief als en slechts als elke begrensde reeks in X een zwak convergente subsequentie heeft.

Een zwak compacte deelverzameling A in ℓ1 is norm-compact. Elke rij in A heeft namelijk zwak convergente subsequenties volgens Eberlein-Šmulian, die normconvergent zijn volgens de Schur-eigenschap van ℓ1.