Cantorverzameling

{{displaystyle}{begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}}!/{3}{\bigr )}=f(0,0{{{overline {2}}_{3})=0.0{overline {1}}_{2}=0.1{2}}=0.1{overline {0}}_{2}=f(0.2{overline {0}}_{3})=f{overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}}}/{3}}{\bigr )}.

Er zijn dus evenveel punten in de verzameling Cantor als er punten zijn in het interval (dat de ontelbare kardinaliteit c = 2 ℵ 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}

). De verzameling van de eindpunten van de verwijderde intervallen is echter telbaar, dus er moeten ontelbaar veel getallen in de verzameling Cantor zijn die geen eindpunten van intervallen zijn. Zoals hierboven opgemerkt, is een voorbeeld van zo’n getal 1⁄4, dat kan worden geschreven als 0,020202…3 = 0,02 in ternaire notatie. In feite, gegeven een willekeurige a ∈ {\displaystyle a\in }

, bestaan er x , y ∈ C {\displaystyle x,y}}

zo dat a = y – x {symbolen a=y-x}}

. Dit is voor het eerst aangetoond door Steinhaus in 1917, die via een meetkundig argument de equivalente bewering bewees dat { ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a } ∩ ( C × C ) ≠ ∅ {{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},\,y=x+a}};\cap \;({{mathcal {C}}} keer {{mathcal {C}}})\neq \emptyset }

voor elke a ∈ {\mathstyle a}}

. Aangezien deze constructie een injectie geeft van {\displaystyle ain }

naar C × C {\displaystyle {C}}

, hebben we | C × C | ≥ | | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}} keer {\mathcal {C}}|geq |={\mathfrak {c}}

als een onmiddellijk corollarium. Ervan uitgaande dat | A × A | = | A | {{A}}|Times A|=|A|}

voor elke oneindige verzameling A {\displaystyle A}

(een uitspraak die door Tarski equivalent is gemaakt met het axioma van de keuze), levert dit een andere demonstratie dat | C | = c {{\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}

.

De verzameling van Cantor bevat evenveel punten als het interval waaruit zij wordt genomen, maar bevat zelf geen interval van niet-nul lengte. De irrationale getallen hebben dezelfde eigenschap, maar de Cantorverzameling heeft als extra eigenschap dat zij gesloten is, zodat zij zelfs niet dicht is in enig interval, in tegenstelling tot de irrationale getallen die dicht zijn in elk interval.

Verondersteld is dat alle algebraïsche irrationale getallen normaal zijn. Aangezien de leden van de Cantorverzameling niet normaal zijn, zou dit betekenen dat alle leden van de Cantorverzameling ofwel rationeel ofwel transcendentaal zijn.

ZelfgelijkvormigheidEdit

De Cantorverzameling is het prototype van een fractal. Zij is zelfgelijkvormig, omdat zij gelijk is aan twee exemplaren van zichzelf, als elk exemplaar met een factor 3 wordt gekrompen en vertaald. Preciezer gezegd, de Cantorverzameling is gelijk aan de unie van twee functies, de linker en rechter zelfgelijkvormige transformaties van zichzelf, T L ( x ) = x / 3 {\displaystyle T_{L}(x)=x/3}

en T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {{T_{R}(x)=(2+x)/3}

, die de Cantorverzameling invariant laten tot op het homeomorfisme: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C = T L ( C ) ∪ T R ( C ) . {Displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}}).}

Herhaalde iteratie van T L {\displaystyle T_{L}}

en T R {\displaystyle T_{R}}

kunnen worden gevisualiseerd als een oneindige binaire boom. Dat wil zeggen dat men bij elk knooppunt van de boom de subboom links of rechts kan beschouwen. Als we de verzameling { T L , T R } {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}

vormt samen met functiecompositie een monoïde, de dyadische monoïde.

De automorfismen van de binaire boom zijn de hyperbolische rotaties, en worden gegeven door de modulaire groep. De Cantorverzameling is dus een homogene ruimte in de zin dat voor twee punten x {\displaystyle x}

en y {\displaystyle y}

in de Cantorverzameling C {{Displaystyle {C}}

, bestaat er een homeomorfisme h : C → C {\displaystyle h:{\mathcal {C}}} naar {\mathcal {C}}}

met h ( x ) = y {Stijl h(x)=y}

. Een expliciete constructie van h {{Displaystyle h}

kan eenvoudiger worden beschreven als we de Cantorverzameling beschouwen als een productruimte van ontelbaar veel kopieën van de discrete ruimte {0 , 1} {{0,1}}

. Dan is de kaart h : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } N {displaystyle h:\{0,1}}^{\mathbb {N}} naar {0,1}^{\mathbb {N} }}

gedefinieerd door h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}{mod 2}

is een involutief homeomorfisme waarbij x {\displaystyle x}

en y {\displaystyle y}

.

BehoudswetEdit

Het is gebleken dat een of andere vorm van behoudswet altijd verantwoordelijk is achter schaling en zelfgelijkvormigheid. In het geval van de Cantorverzameling kan men zien dat de d f {Displaystyle d_{f}}

moment (waarbij d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {\displaystyle d_{f}==ln(2)/ln(3)}

de fractale dimensie is) van alle overblijvende intervallen in elke fase van het constructieproces gelijk is aan de constante die gelijk is aan één in het geval van de Cantorverzameling . We weten dat er N = 2 n {Displaystyle N=2^{n}}

intervallen van grootte 1 / 3 n {\displaystyle 1/3^{n}}

aanwezig in het systeem op de n {\displaystyle n}

derde stap van de constructie. Als we de overgebleven intervallen labelen als x 1 , x 2 , … , x 2 n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}

dan is de d f {{displaystyle d_{f}}

th moment is x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {{displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}

aangezien x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 n = 1 / 3 n {{displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}

.

De Hausdorff-dimensie van de Cantorverzameling is gelijk aan ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Topologische en analytische eigenschappenEdit

Hoewel “de” Cantorverzameling meestal verwijst naar de originele, middeldode Cantor zoals hierboven beschreven, hebben topologen het vaak over “een” Cantorverzameling, waarmee elke topologische ruimte wordt bedoeld die er homeomorf (topologisch equivalent) mee is.

Zoals uit bovenstaand sommatieargument blijkt, is de Cantorverzameling ontelbaar, maar heeft zij de Lebesgue-maat 0. Aangezien de Cantorverzameling het complement is van een unie van open verzamelingen, is zij zelf een gesloten deelverzameling van de realen, en dus een volledige metrische ruimte. Omdat hij ook volledig begrensd is, zegt de stelling van Heine-Borel dat hij compact moet zijn.

Voor elk punt in de Cantorverzameling en elke willekeurig kleine buurt van het punt is er een ander getal met een ternair getal van alleen 0-en en 2-en, en ook getallen waarvan het ternair getal 1-en bevat. Elk punt in de verzameling Cantor is dus een accumulatiepunt (ook clusterpunt of limietpunt genoemd) van de verzameling Cantor, maar geen enkel punt is een binnenpunt. Een gesloten verzameling waarin elk punt een accumulatiepunt is, wordt in de topologie ook wel een perfecte verzameling genoemd, terwijl een gesloten deelverzameling van het interval zonder binnenpunten nergens dicht is in het interval.

Elk punt van de Cantorverzameling is ook een accumulatiepunt van het complement van de Cantorverzameling.

Voor elk tweetal punten in de Cantorverzameling zal er een of ander ternair cijfer zijn waarin ze verschillen – het ene heeft 0 en het andere 2. Door de Cantorverzameling in “helften” te splitsen, afhankelijk van de waarde van dit cijfer, verkrijgt men een verdeling van de Cantorverzameling in twee gesloten verzamelingen die de oorspronkelijke twee punten scheiden. In de relatieve topologie van de Cantorverzameling zijn de punten gescheiden door een gesloten verzameling. De Cantorverzameling is dus volledig ontkoppeld. Als compacte totaal ontkoppelde Hausdorff-ruimte is de Cantorverzameling een voorbeeld van een Steenruimte.

Als topologische ruimte is de Cantorverzameling van nature homeomorf met het product van ontelbaar veel kopieën van de ruimte {0 , 1 } {{0,1}}

, waarbij elke kopie de discrete topologie draagt. Dit is de ruimte van alle rijen in twee cijfers 2 N = { ( x n ) ∣ x n ∈ { 0 , 1 } voor n ∈ N } {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }={(x_{n})\mid x_{n}} in \0,1}{text{voor}n in \mathbb {N}} \}}

,

die ook kan worden geïdentificeerd met de verzameling van 2-adische gehele getallen. De basis voor de open verzamelingen van de producttopologie zijn cilinderverzamelingen; het homeomorfisme brengt deze over in de deelruimtetopologie die de Cantorruimte erft van de natuurlijke topologie op de reële getallenlijn. Deze karakterisering van de Cantorruimte als een product van compacte ruimten geeft een tweede bewijs dat de Cantorruimte compact is, via de stelling van Tychonoff.

Vanuit de bovenstaande karakterisering is de Cantorruimte homeomorf met de p-adische gehele getallen, en, als men er één punt uit verwijdert, met de p-adische getallen.

De Cantorverzameling is een deelverzameling van de realen, die een metrische ruimte zijn ten opzichte van de gewone afstandsmetriek; daarom is de Cantorverzameling zelf een metrische ruimte, als men diezelfde metriek gebruikt. Als alternatief kan men de p-adische metriek op 2 N gebruiken {{\mathbb {N} }}

: gegeven twee rijen ( x n ) , ( y n ) ∈ 2 N {\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }} }}

, de afstand tussen hen is d ( ( x n ) , ( y n ) ) = 2 – k {{\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}

, waarbij k {{displaystyle k}

de kleinste index is zodat x k ≠ y k {\displaystyle x_{k}

; als zo’n index niet bestaat, dan zijn de twee rijen gelijk en definieert men de afstand als nul. Deze twee metrieken leveren dezelfde topologie op de verzameling Cantor op.

We hebben hierboven gezien dat de Cantorverzameling een volledig ontkoppelde perfecte compacte metrische ruimte is. In zekere zin is het zelfs de enige: elke niet-lege volledig ontkoppelde perfecte compacte metrische ruimte is homeomorf aan de Cantorverzameling. Zie Cantorruimte voor meer over ruimten die homeomorf zijn aan de Cantorverzameling.

De Cantorverzameling wordt soms beschouwd als “universeel” in de categorie van compacte metrische ruimten, omdat elke compacte metrische ruimte een continu beeld is van de Cantorverzameling; deze constructie is echter niet uniek en dus is de Cantorverzameling niet universeel in de precieze categorische zin. De “universele” eigenschap heeft belangrijke toepassingen in de functionele analyse, waar zij soms bekend staat als de representatietheorema voor compacte metrische ruimten.

Voor elk geheel getal q ≥ 2 is de topologie op de groep G=Zqω (de aftelbare directe som) discreet. Hoewel de Pontrjagin-duale Γ ook Zqω is, is de topologie van Γ compact. Men kan zien dat Γ volledig ontkoppeld en perfect is – het is dus homeomorf met de verzameling van Cantor. Het is het gemakkelijkst om het homeomorfisme expliciet uit te schrijven in het geval q=2. (Zie Rudin 1962 p 40.)

Het meetkundig gemiddelde van de Cantorverzameling is ongeveer 0,274974.

Maat en kansEdit

De Cantorverzameling kan worden gezien als de compacte groep van binaire reeksen, en als zodanig is zij begiftigd met een natuurlijke Haar-maat. Genormaliseerd zodat de maat van de verzameling 1 is, is het een model van een oneindige reeks muntopgooiingen. Verder kan men aantonen dat de gebruikelijke maat van Lebesgue op het interval een beeld is van de maat van Haar op de verzameling van Cantor, terwijl de natuurlijke injectie in de ternaire verzameling een canoniek voorbeeld is van een singuliere maat. Men kan ook aantonen dat de Haar-maat een beeld is van elke waarschijnlijkheid, waardoor de Cantorverzameling in sommige opzichten een universele waarschijnlijkheidsruimte is.

In de Lebesgue-maattheorie is de Cantorverzameling een voorbeeld van een verzameling die niet telbaar is en een nulmaat heeft.

CantorgetallenEdit

Als we een Cantorgetal definiëren als een lid van de Cantorverzameling, dan

• (1) is elk reëel getal in de som van twee Cantorgetallen.
• (2) Tussen elke twee Cantor-getallen is er een getal dat geen Cantor-getal is.

Beschrijvende verzamelingenleerEdit

De Cantorverzameling is een magere verzameling (of een verzameling van de eerste categorie) als deelverzameling van (hoewel niet als deelverzameling van zichzelf, want het is een Baire-ruimte). De verzameling Cantor toont dus aan dat begrippen “grootte” in termen van kardinaliteit, maat, en (Baire) categorie niet hoeven samen te vallen. Net als de verzameling Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, de Cantorverzameling C {{\displaystyle {\mathcal {C}}}

is “klein” in de zin dat het een nulverzameling is (een verzameling van maat nul) en het is een magere deelverzameling van . Maar in tegenstelling tot Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, die telbaar is en een “kleine” kardinaliteit heeft, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}

, de kardinaliteit van C {\displaystyle {{mathcal {C}}}

is dezelfde als die van , het continuüm c {\displaystyle {\mathfrak {c}}}

, en is “groot” in de zin van kardinaliteit. In feite is het ook mogelijk om een deelverzameling te construeren die mager is maar een positieve maat heeft en een deelverzameling die niet mager is maar een maat nul heeft: Door de aftelbare unie te nemen van “dikke” Cantorverzamelingen C ( n ) {\displaystyle {{C}}^{(n)}}

van maat λ = ( n – 1 ) / n {\displaystyle \lambda =(n-1)/n}

(zie Smith-Volterra-Cantorverzameling hieronder voor de constructie), krijgen we een verzameling A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}:= ⋃ n = 1 ∞ C {{(n)}}

die een positieve maat heeft (gelijk aan 1) maar mager is in , aangezien elke C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}

nergens dicht is. Beschouw dan de verzameling A c = ∖ ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c}} }==setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}

. Aangezien A ∪ A c = {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c}} }=}

, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c}} }}

kan niet mager zijn, maar aangezien μ ( A ) = 1 {{\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}

, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c}} }}

moet maat nul hebben.