Briscoe’s vader, Kevin, stond aanvankelijk niet toe dat Briscoe racete. Later gaf hij toe dat Chase mocht racen als manier om tijd door te brengen met zijn gezin. Vijf jaar later keerde hij terug naar de racewereld en reed op 13-jarige leeftijd in 410 sprintwagens. Dat jaar behaalde hij 17 top-tien plaatsen en won hij de laatste race van het seizoen. Hij werd de jongste coureur die een 410 sprintcar race won en versloeg daarmee NASCAR kampioen Jeff Gordon’s record met één jaar, ondanks dat hij racete met een motor uit 1993.
In 2013 schreef Briscoe zich in voor de Peak Stock Car Dream Challenge, een wedstrijd die de winnaar beloont met een rit bij Michael Waltrip Racing. Ondanks het winnen van de meerderheid van de on-track races, eindigde hij als tweede achter Patrick Staropoli in de uitdaging. Toenmalig Michael Waltrip Racing directeur Ty Norris vertelde Briscoe achteraf dat ook al won hij de wedstrijd niet, Briscoe toch een racecarrière moest nastreven. Later in het jaar maakte hij zijn NASCAR K&N Pro Series West debuut op NAPA Speedway waar hij achtste werd. Hij reed dat seizoen nog twee races in de serie en werd 13e en 27e op respectievelijk Kern County Raceway Park en Phoenix International Raceway. Briscoe verhuisde in 2014 van Indiana naar Charlotte, North Carolina in de hoop connecties te leggen in de racewereld.
In 2015 werd Briscoe benaderd door vriend en coureur Christopher Bell over een contract bij Roush Fenway Racing, wat resulteerde in een testsessie met ARCA Racing Series-team Cunningham Motorsports. Teameigenaar Kerry Scherer belde Briscoe over de tests terwijl Briscoe vanuit Charlotte terugreed naar Indiana, nadat hij zijn racecarrière had opgegeven. Na twee tests op Mobile International Speedway en Fairgrounds Speedway, maakte hij zijn ARCA debuut op Lucas Oil Raceway in Indianapolis waar hij als tiende eindigde. In zijn tweede ARCA start op Salem Speedway kwalificeerde hij zich als zevende en eindigde later als vijfde. Briscoe raakte tegen het einde van het seizoen 2015 persoonlijk bevriend met Briggs Cunningham III en kreeg voor 2016 een full-season-rit aangeboden, die Briscoe accepteerde. Hij won zes races in de loop van het seizoen en won het 2016 kampioenschap met 535 punten voorsprong op runner-up Tom Hessert.
Truck SeriesEdit
In 2017 trad Briscoe toe tot het nieuw gevormde Ford Performance NASCAR Driver Development Program en het Camping World Truck Series-team Brad Keselowski Racing, waar hij fulltime de No. 29 Cooper Standard Ford F-150 bestuurde. Briscoe eindigde in zijn Truck Series-debuut op Daytona als derde door in de laatste ronde een enorm wrak te ontwijken, nadat hij bijna de hele dag top tien had gereden. Briscoe behaalde op de Dover International Speedway zijn eerste Truck Series-pole voor zijn carrière en eindigde als 12e. Later in het seizoen behaalde Briscoe op de Homestead-Miami Speedway zijn eerste overwinning in zijn carrière. Hij werd in 2017 uitgeroepen tot meest populaire coureur van de Truck Series. BKR sloot na het seizoen de deuren, waardoor Briscoe zonder rijder kwam te zitten. Voorafgaand aan het seizoen 2017 werd Briscoe een rit aangeboden door Hendrick Motorsports, maar bracht niet genoeg sponsoring mee om van het aanbod gebruik te maken.
Briscoe keerde terug naar de Truck Series in 2018, reed de No. 27 truck voor ThorSport Racing op Eldora Speedway en won in een fotofinish over teamgenoot Grant Enfinger. Het jaar daarop sloot hij zich weer aan bij ThorSport voor de Dirt Derby van 2019, waar hij als 7e eindigde.
In 2021 sloot Briscoe zich aan bij Roper Racing voor de Bristol dirt race.
Xfinity SeriesEdit
In 2018 liep Briscoe een parttime schema in de NASCAR Xfinity Series. Briscoe reed races in zowel de No. 60 Ford van Roush Fenway Racing als de No. 98 Ford van Stewart-Haas Racing. Later dat jaar won Briscoe de inaugurele Xfinity-race op de Charlotte Roval na het afhouden van Justin Marks en Austin Cindric.
Briscoe verbond zich aan een fulltime Xfinity-schema in SHR’s No. 98 in 2019. In juli behaalde Briscoe zijn tweede overwinning in de Xfinity Series op Iowa Speedway. Hij kwalificeerde zich voor de 2019 NASCAR Xfinity Series Playoffs, op de rug van het posten van 10 opeenvolgende top 10 finishes. Briscoe eindigde het 2019-seizoen als vijfde in punten na een derde plaats op Homestead.
Nadat sponsorproblemen Briscoe uit de stoel dreigden te halen, verzekerde hij zich van voldoende financiering om het 2020 NASCAR Xfinity Series-seizoen te rijden. Briscoe won de door de regen uitgestelde Boyd Gaming 300 op Las Vegas Motor Speedway; hij leidde 27 van de 50 ronden voordat het weer dwong om de rest van de race uit te stellen, gevolgd door 62 ronden op zondag voor een race-high 89 ronden geleid en op weg naar de overwinning. In Darlington, nadat zijn vrouw een miskraam had gehad, behaalde Briscoe zijn vierde overwinning in de Xfinity Series door Kyle Busch af te houden.
Cup SeriesEdit
Op 20 oktober 2020 kondigde Stewart-Haas Racing aan dat Briscoe in 2021 zou promoveren naar de Cup Series, als vervanger van Clint Bowyer in de No. 14 Ford Mustang. HighPoint.com, dat Briscoe’s Xfinity-auto sponsorde, volgde hem naar het Cup-team.