Cop getal | SG Web

Elke grafiek waarvan de omtrek groter is dan vier heeft een cop getal dat minstens gelijk is aan zijn minimum graad. Hieruit volgt dat er grafieken bestaan met een willekeurig hoog cop getal.

Onopgelost probleem in de wiskunde:

Wat is het grootst mogelijke cop getal van een n {\le n}

$n$

-vertex-grafiek?

Henri Meyniel (ook bekend van Meyniel-grafieken) heeft in 1985 geconjecteerd dat elke samenhangende n {\displaystyle n}

$n$

-vertexgrafiek een kopiegetal O ( n ) {\displaystyle O({\sqrt {n}})}

$O({\sqrt n}})$

. De Levi grafen (of incidentiegrafieken) van eindige projectieve vlakken hebben omtrek zes en minimale graad Ω ( n ) {\displaystyle O({\sqrt {n}})}

$Omega ({\sqrt n})$

, dus als dit waar zou zijn, zou deze grens de best mogelijke zijn.

Alle grafieken hebben een sublineair copnummer. Een manier om dit te bewijzen is door gebruik te maken van subgrafieken die bewaakt kunnen worden door een enkele agent: de agent kan de overvaller zo volgen dat, als de overvaller ooit in de subgraaf komt, de agent de overvaller onmiddellijk kan vangen. Twee soorten subgrafieken die bewaakbaar zijn, zijn de gesloten buurt van een enkel hoekpunt, en een kortste pad tussen twee willekeurige hoekpunten. De Moore-grens in het graaddiameterprobleem impliceert dat minstens één van deze twee soorten bewaakbare verzamelingen grootte Ω ( log n / log log n ) {\displaystyle \Omega (\log n/log \log n)}

$Omega(\log n/\log n)$

. Door één cop te gebruiken om deze verzameling te bewaken en te recurseren binnen de verbonden componenten van de overblijvende hoekpunten van de grafiek, blijkt dat het cop getal ten hoogste O ( n log log n / log n ) {\displaystyle O(n log \log n/\log n)} is.

${{{{{{{{{{}}}} n log n/log n/log n)}$

Een sterkere sublineaire bovengrens voor het kopiegetal,

n 2 ( 1 – o ( 1 ) ) log n , {\displaystyle {\frac {n}{2^{(1-o(1)){\sqrt {log n}}}}},}

${\frac {n}{2^{(1-o(1)){\sqrt {log n}}}}},$

is bekend. Maar de problemen om een nauwe grens te verkrijgen, en om Meyniels vermoeden te bewijzen of te weerleggen, blijven onopgelost. Het is zelfs onbekend of het zachte Meyniel-veronderstelling, dat er een constante c < 1 bestaat {\displaystyle c<1}

$c1$

waarvoor het kopiegetal altijd O ( n c ) {\displaystyle O(n^{c})}

$O(n^{c})$

, is waar.

Het berekenen van het copnummer van een gegeven grafiek is EXPTIME-hard, en hard voor geparametriseerde complexiteit.

Plaats een reactie Antwoord annuleren