Eigenschappen van Sets onder een Bewerking
Mathematici zijn vaak geïnteresseerd in de vraag of bepaalde verzamelingen al dan niet bepaalde eigenschappen hebben onder een bepaalde Bewerking. Een van de redenen waarom wiskundigen hierin geïnteresseerd waren, was om te kunnen bepalen wanneer vergelijkingen oplossingen zouden hebben. Als een verzameling onder een bepaalde bewerking bepaalde algemene eigenschappen heeft, dan kunnen we bijvoorbeeld lineaire vergelijkingen in die verzameling oplossen.
Er zijn verschillende belangrijke eigenschappen waaraan een verzameling al dan niet kan voldoen onder een bepaalde bewerking. Een eigenschap is een bepaalde regel die geldt als hij waar is voor alle elementen van een verzameling onder de gegeven bewerking en een eigenschap geldt niet als er minstens één paar elementen is dat onder de gegeven bewerking niet aan de eigenschap voldoet.
Het praten over eigenschappen op deze abstracte manier is nog niet echt zinvol, dus laten we eens kijken naar enkele voorbeelden van eigenschappen, zodat u beter kunt begrijpen wat ze zijn. In deze lezing, zullen we leren over de sluiting eigenschap.
De eigenschap van sluiting
Een verzameling heeft de eigenschap van sluiting onder een bepaalde bewerking als het resultaat van de bewerking altijd een element in de verzameling is. Als een verzameling de sluitingseigenschap heeft onder een bepaalde bewerking, dan zeggen we dat de verzameling “gesloten is onder de bewerking”.
Het is veel gemakkelijker om een eigenschap te begrijpen door naar voorbeelden te kijken dan door er gewoon op een abstracte manier over te praten, dus laten we overgaan tot het bekijken van voorbeelden, zodat u precies kunt zien waar we het over hebben als we zeggen dat een verzameling de sluitingseigenschap heeft:
Laten we eerst eens kijken naar een paar oneindige verzamelingen met bewerkingen die ons al bekend zijn:
a) De verzameling gehele getallen is gesloten onder de bewerking optellen, omdat de som van twee willekeurige gehele getallen altijd weer een geheel getal is en dus in de verzameling gehele getallen zit.
b) De verzameling gehele getallen is niet gesloten onder de delingsoperatie, want als je een geheel getal deelt door een ander geheel getal, krijg je niet altijd een ander geheel getal als antwoord. Bijvoorbeeld, 4 en 9 zijn beide gehele getallen, maar 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 is geen geheel getal, dus zit het niet in de verzameling gehele getallen!
om meer voorbeelden te zien van oneindige verzamelingen die wel en niet aan de sluitingseigenschap voldoen.
c) De verzameling van rationale getallen is gesloten onder de vermenigvuldigingsoperatie, omdat het product van twee willekeurige rationale getallen altijd een ander rationaal getal zal zijn, en dus in de verzameling van rationale getallen zal zitten. Dit komt omdat vermenigvuldiging van twee breuken altijd een andere breuk als resultaat geeft, aangezien het product van twee breuken a/b en c/d, ac/bd als resultaat zal geven. De enige manier waarop ac/bd geen breuk zou kunnen zijn is als bd gelijk is aan 0. Maar als a/b en c/d beide breuken zijn, betekent dit dat noch b noch d 0 is, dus kan bd niet 0 zijn.
d) De verzameling van natuurlijke getallen is niet gesloten onder de bewerking van aftrekken, want als je een natuurlijk getal van een ander natuurlijk getal aftrekt, krijg je niet altijd een ander natuurlijk getal. Bijvoorbeeld, 5 en 16 zijn beide natuurlijke getallen, maar 5 – 16 = – 11. – 11 is geen natuurlijk getal, dus zit het niet in de verzameling van natuurlijke getallen!
Laten we nu eens kijken naar een paar voorbeelden van eindige verzamelingen met bewerkingen die ons misschien niet bekend zijn:
e) De verzameling {1,2,3,4} is niet gesloten onder de bewerking optellen want 2 + 3 = 5, en 5 is geen element van de verzameling {1,2,3,4}.
Dit kunnen we ook zien door te kijken naar de werkingstabel van de verzameling {1,2,3,4} onder de bewerking optellen:
|
+ |
||||
De verzameling{1,2,3,4} is niet gesloten onder de bewerking + omdat er ten minste één resultaat is (alle resultaten zijn oranje gearceerd) dat geen element is van de verzameling {1,2,3,4}. De grafiek bevat de resultaten 5, 6, 7, en 8, die geen van allen elementen zijn van de verzameling {1,2,3,4}!
f) De verzameling {a,b,c,d,e} heeft de volgende bewerkingstabel voor de bewerking *:
|
* |
a |
b |
c |
d |
e |
|
a |
b |
c |
e |
a |
d |
|
b |
d |
a |
c |
b |
e |
|
c |
c |
d |
b |
e |
a |
|
d |
a |
e |
d |
c |
b |
|
e |
e |
b |
a |
d |
c |
De verzameling{a,b,c,d,e} is gesloten onder de operatie * omdat alle resultaten (die oranje gearceerd zijn) elementen zijn in de verzameling {a,b,c,d,e}.
om een ander voorbeeld te zien.
g) De verzameling {a,b,c,d,e} heeft de volgende werkingstabel voor de bewerking $:
|
a |
b |
c |
d |
e |
|
|
a |
b |
f |
e |
a |
h |
|
b |
d |
a |
c |
h |
e |
|
c |
c |
d |
b |
g |
a |
|
d |
g |
e |
d |
c |
b |
|
e |
e |
b |
h |
d |
c |
De verzameling{a,b,c,d,e} is niet gesloten onder de bewerking $ omdat er minstens één resultaat is (alle resultaten zijn oranje gearceerd) dat geen element is van de verzameling {a,b,c,d,e}. Bijvoorbeeld, volgens de grafiek is a$b=f. Maar f is geen element van {a,b,c,d,e}!