SeismologieEdit
Het concept van deconvolutie kende een vroege toepassing in de reflectie-seismologie. In 1950 was Enders Robinson een afgestudeerde student aan het MIT. Hij werkte samen met anderen op het MIT, zoals Norbert Wiener, Norman Levinson, en de econoom Paul Samuelson, aan de ontwikkeling van het “convolutiemodel” van een reflectie seismogram. Dit model gaat ervan uit dat het opgenomen seismogram s(t) de convolutie is van een aardreflectiefunctie e(t) en een seismische w(t)-golf van een puntbron, waarbij t de opnametijd is. Onze convolutievergelijking is dus
s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {
De seismoloog is geïnteresseerd in e, die informatie bevat over de structuur van de aarde. Door de convolutietheorema kan deze vergelijking Fouriertransformeerd worden tot
S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) {Displaystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\,}
in het frequentiedomein, waarbij ω {{\omega}
de frequentievariabele is. Door aan te nemen dat het reflectievermogen wit is, kunnen we aannemen dat het vermogensspectrum van het reflectievermogen constant is, en dat het vermogensspectrum van het seismogram het spectrum van de wavelet is, vermenigvuldigd met die constante. Dus, | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . {
Als we aannemen dat de wavelet een minimale fase heeft, kunnen we deze terugvinden door het minimale fase-equivalent van het zojuist gevonden vermogensspectrum te berekenen. De reflectiviteit kan worden teruggevonden door een Wiener-filter te ontwerpen en toe te passen dat de geschatte wavelet vormt tot een Dirac-deltafunctie (d.w.z. een spike). Het resultaat kan worden gezien als een reeks geschaalde, verschoven deltafuncties (hoewel dit wiskundig niet strikt is):
e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {\displaystyle e(t)=sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),}
waarbij N het aantal reflectiegebeurtenissen is, r i {\displaystyle r_{i}}
de reflectiecoëfficiënten zijn, t – τ i {\displaystyle t-\tau _{i}}
zijn de weerkaatsingstijden van elke gebeurtenis, en δ {\displaystyle \delta }
is de Dirac-deltafunctie.
In de praktijk, omdat we te maken hebben met ruisende, eindige bandbreedte, eindige lengte, discreet bemonsterde datasets, levert de bovenstaande procedure slechts een benadering op van het filter dat nodig is om de gegevens te deconvolueren. Door het probleem echter te formuleren als de oplossing van een Toeplitz matrix en gebruik te maken van Levinson recursie, kunnen wij relatief snel een filter schatten met de kleinst mogelijke gemiddelde kwadratische fout. Wij kunnen de deconvolutie ook rechtstreeks in het frequentiedomein uitvoeren en soortgelijke resultaten bereiken. De techniek is nauw verwant aan lineaire voorspelling.
Optica en andere beeldvormingEdit
In de optica en de beeldvorming wordt de term “deconvolutie” specifiek gebruikt om te verwijzen naar het proces van het omkeren van de optische vervorming die plaatsvindt in een optische microscoop, elektronenmicroscoop, telescoop of ander beeldvormingsinstrument, waardoor duidelijkere beelden worden verkregen. Het wordt gewoonlijk in het digitale domein uitgevoerd door een software-algoritme, als onderdeel van een reeks microscoopbeeldverwerkingstechnieken. Deconvolutie is ook praktisch om beelden te verscherpen die te lijden hebben van snelle bewegingen of schokken tijdens de opname. Vroege beelden van de Hubble Space Telescope waren vervormd door een gebrekkige spiegel en werden verscherpt door deconvolutie.
De gebruikelijke methode is ervan uit te gaan dat het optische pad door het instrument optisch perfect is, geconvolueerd met een point spread function (PSF), dat wil zeggen een wiskundige functie die de vervorming beschrijft in termen van het pad dat een theoretische puntbron van licht (of andere golven) door het instrument aflegt. Gewoonlijk draagt een dergelijke puntbron bij tot een klein gebied van onscherpte in het uiteindelijke beeld. Als deze functie kan worden bepaald, is het een kwestie van de inverse of complementaire functie ervan te berekenen en het verkregen beeld daarmee te convolueren. Het resultaat is het oorspronkelijke, onvervormde beeld.
In de praktijk is het onmogelijk de ware PSF te vinden, en gewoonlijk wordt een benadering ervan gebruikt, theoretisch berekend of gebaseerd op een experimentele schatting met behulp van bekende tasters. Echte optieken kunnen ook verschillende PSF’s hebben bij verschillende brandpuntsafstanden en ruimtelijke locaties, en de PSF kan niet-lineair zijn. De nauwkeurigheid van de benadering van de PSF is bepalend voor het eindresultaat. Er kunnen verschillende algoritmen worden gebruikt om betere resultaten te verkrijgen, maar de prijs daarvoor is dat ze meer rekenkracht vergen. Aangezien bij de oorspronkelijke convolutie gegevens worden weggelaten, gebruiken sommige algoritmen extra gegevens die op nabijgelegen brandpunten zijn verkregen om een deel van de verloren informatie goed te maken. Regularisatie in iteratieve algoritmen (zoals in expectation-maximization algoritmen) kan worden toegepast om onrealistische oplossingen te vermijden.
Wanneer de PSF onbekend is, kan het mogelijk zijn deze af te leiden door systematisch verschillende mogelijke PSF’s te proberen en te beoordelen of het beeld verbeterd is. Deze procedure wordt blinde deconvolutie genoemd. Blinde deconvolutie is een beproefde beeldrestauratietechniek in de astronomie, waar de PSF door het puntkarakter van de gefotografeerde objecten bloot komt te liggen, waardoor deze techniek beter uitvoerbaar is. Zij wordt ook gebruikt in fluorescentiemicroscopie voor beeldrestauratie, en in fluorescentiespectrale beeldvorming voor spectrale scheiding van meerdere onbekende fluoroforen. Het meest gebruikte iteratieve algoritme voor dit doel is het Richardson-Lucy deconvolutiealgoritme; de Wiener deconvolutie (en benaderingen) zijn de meest gebruikte niet-iteratieve algoritmen.
Voor sommige specifieke beeldvormingssystemen, zoals lasergepulste terahertzsystemen, kan PSF mathematisch worden gemodelleerd. Bijgevolg kan, zoals in de figuur is aangegeven, deconvolutie van de gemodelleerde PSF en het terahertzbeeld een weergave van het terahertzbeeld met hogere resolutie opleveren.
RadioastronomieEdit
Bij het uitvoeren van beeldsynthese in radio-interferometrie, een specifieke vorm van radioastronomie, bestaat één stap uit deconvolutie van het geproduceerde beeld met de “vuile straal”, wat een andere naam is voor de puntspreidingsfunctie. Een veel gebruikte methode is het CLEAN-algoritme.
AbsorptiespectraEdit
Deconvolutie is uitgebreid toegepast op absorptiespectra. Het Van Cittert-algoritme (artikel in het Duits) kan worden gebruikt.
Fouriertransformatie-aspectenEdit
Deconvolutie gaat over op deling in het Fourier-co-domein. Hierdoor kan deconvolutie gemakkelijk worden toegepast met experimentele gegevens die aan een Fouriertransformatie onderhevig zijn. Een voorbeeld is NMR spectroscopie waarbij de gegevens in het tijdsdomein zijn opgenomen, maar in het frequentiedomein worden geanalyseerd. De deling van de tijddomeingegevens door een exponentiële functie heeft tot gevolg dat de breedte van Lorenzische lijnen in het frequentiedomein wordt gereduceerd.