Kustlijnparadox

Voor dit artikel zijn extra citaten nodig ter verificatie. Help dit artikel te verbeteren door citaten naar betrouwbare bronnen toe te voegen. Materiaal zonder bronvermelding kan worden aangevochten en verwijderd. (Februari 2015) (Leer hoe en wanneer u dit sjabloonbericht verwijdert)

Het basisbegrip lengte vindt zijn oorsprong in de Euclidische afstand. In de euclidische meetkunde stelt een rechte lijn de kortste afstand tussen twee punten voor. Deze lijn heeft slechts één lengte. Op het oppervlak van een bol wordt dit vervangen door de geodetische lengte (ook wel de grootcirkellengte genoemd), die gemeten wordt langs de oppervlaktekromme die bestaat in het vlak waarin beide eindpunten en het middelpunt van de bol liggen. De lengte van basiskrommen is gecompliceerder, maar kan ook worden berekend. Door met linialen te meten kan men de lengte van een kromme benaderen door de som van de rechte lijnen die de punten verbinden op te tellen:

Door enkele rechte lijnen te gebruiken om de lengte van een kromme te benaderen zal men een schatting krijgen die kleiner is dan de ware lengte; wanneer men steeds kortere (en dus talrijkere) lijnen gebruikt, benadert de som de ware lengte van de kromme. Een precieze waarde voor deze lengte kan worden gevonden met behulp van calculus, de tak van de wiskunde die de berekening van oneindig kleine afstanden mogelijk maakt. De volgende animatie illustreert hoe aan een vloeiende kromme op zinvolle wijze een precieze lengte kan worden toegekend:

Niet alle krommen kunnen echter op deze manier worden gemeten. Een fractal is, per definitie, een kromme waarvan de complexiteit verandert met de schaal van de meting. Terwijl benaderingen van een vloeiende kromme naar één waarde neigen naarmate de meetnauwkeurigheid toeneemt, convergeert de gemeten waarde voor een fractal niet.

Deze Sierpiński kromme (een soort ruimtevullende kromme), die hetzelfde patroon op een steeds kleinere schaal herhaalt, blijft in lengte toenemen. Als de kromme wordt opgevat als een iteratie binnen een oneindig onderverdeelde meetkundige ruimte, neigt de lengte naar oneindig. Tegelijkertijd convergeert het gebied dat door de kromme wordt omsloten wel naar een nauwkeurig getal – net zoals, analoog hieraan, de landmassa van een eiland gemakkelijker kan worden berekend dan de lengte van de kustlijn.

Als de lengte van een fractale kromme altijd naar oneindig divergeert, zou, als men een kustlijn met oneindige of bijna oneindige resolutie zou meten, de lengte van de oneindig korte knikken in de kustlijn bij elkaar opgeteld oneindig zijn. Deze figuur berust echter op de aanname dat de ruimte in oneindig korte stukken kan worden verdeeld. De waarheidswaarde van deze aanname – die ten grondslag ligt aan de euclidische meetkunde en een nuttig model is voor dagelijkse metingen – is een kwestie van filosofische speculatie, en kan al dan niet de veranderende realiteit van “ruimte” en “afstand” op atomair niveau (ongeveer de schaal van een nanometer) weerspiegelen. Zo wordt de Planck-lengte, vele orden van grootte kleiner dan een atoom, voorgesteld als de kleinst mogelijke meetbare eenheid in het universum.

Coastlines zijn minder vastomlijnd in hun constructie dan geïdealiseerde fractals zoals de Mandelbrot-verzameling, omdat zij worden gevormd door diverse natuurlijke gebeurtenissen die op statistisch willekeurige manieren patronen creëren, terwijl geïdealiseerde fractals worden gevormd door herhaalde iteraties van eenvoudige, formulaïsche reeksen.

Plaats een reactie