We krijgen allerlei soorten vragen in onze “Ask a Physicist” inbox, (inclusief een positief ontmoedigend aantal van mensen die lijken te denken dat het “Ask a Psychic” is) maar één onderwerp dat consequent de verbeelding en nieuwsgierigheid van mensen lijkt aan te wakkeren is de lichtsnelheid. Wat bepaalt die, en waarom kan niets sneller gaan dan dat? Wat gebeurt er als we het proberen? Nadenken over deze vragen en proberen de antwoorden te vinden is op zichzelf al fascinerend en leuk, maar belangrijker is dat het ons inzicht geeft in de regels die aan ons universum ten grondslag liggen. Vandaag gaan we dieper in op een van deze vragen en het verhelderende (geen woordspeling bedoeld) antwoord: Waarom is de lichtsnelheid in een vacuüm ~300.000.000 meter per seconde? Waarom c?
Gelijk welke golflengte en energie, alle elektromagnetische golven bewegen met dezelfde snelheid.
Stel je een geladen draad voor die zich oneindig uitstrekt in beide richtingen. Omdat de draad oneindig is, is het moeilijk om te zeggen hoeveel lading er in totaal op de draad zit, zoals we zouden kunnen doen als het om een bol zou gaan. Echter, door te kijken naar een eindige lengte-eenheid, kunnen we praten over-bijvoorbeeld-de lading per meter, of ladingsdichtheid.
Een oneindige draad ziet er hetzelfde uit vanuit elk punt langs zijn lengte, dus als je denkt over de sterkte van het elektrische veld gecreëerd door de lading in deze draad-hoe sterk een geladen deeltje zou worden aangetrokken of afgestoten door het-het gaat alleen afhangen van de ladingsdichtheid van de draad en dat deeltje de afstand van de draad (evenals de permittiviteit van het medium je bent in, die voor onze doeleinden is een vacuüm). De vergelijking voor het elektrisch veld rond deze draad staat hieronder:
Nu, in de oneindige verte, begint iemand deze draad op te rollen en langs zijn as te trekken. Voor alle praktische doeleinden creëert deze beweging een stroom; in plaats van de ladingen in de draad te verplaatsen (zoals je zou doen door de spanning aan één kant te veranderen), verplaatsen we de draad zelf, samen met de ladingen die hij bevat. Het waarom hiervan zult u hopelijk zo dadelijk zien.
Zoals u wellicht weet, creëert een stroom in een draad een magnetisch veld dat rond die draad cirkelt. De sterkte van dat magnetisch veld hangt af van de afstand tot de draad (d), maar ook van de sterkte van de stroom, die in dit geval het product is van de ladingsdichtheid van de draad en de snelheid waarmee hij wordt voortgetrokken.
Stel je nu voor dat je een tweede van deze draden hebt, evenwijdig aan de eerste, geladen onder dezelfde spanning, en met dezelfde snelheid in dezelfde richting getrokken. Aangezien de twee draden een gelijke lading hebben, zullen zij elkaar afstoten en door hun elektrostatische afstoting uit elkaar worden geduwd.
Wanneer de kracht tussen twee geladen voorwerpen wordt berekend, worden hun ladingen met elkaar vermenigvuldigd, wat leidt tot de lambda-kwadraatterm hierboven (aangezien elke draad een ladingsdichtheid van lambda heeft).
De statische elektrische lading op deze draden zorgt ervoor dat ze elkaar afstoten. Aangezien de draden echter in dezelfde richting worden getrokken, is er in elk van hen een stroom en het magnetisch veld dat met deze stromen gepaard gaat. Wanneer twee stromen in parallelle draden in dezelfde richting wijzen, creëren hun magnetische velden een aantrekkingskracht tussen de twee – hoe sneller ze gaan, hoe sterker deze aantrekkingskracht wordt.
De vergelijking voor de magnetisch gecreëerde aantrekkingskracht tussen de draden.
Als je het goed volgt, zie je dat we een scenario hebben opgezet waarin de aantrekkingskracht van het magnetisme de afstotende elektrische kracht tussen deze draden tegenwerkt. Zoals u in de bovenstaande vergelijkingen kunt zien, hangt de sterkte van de magnetische kracht af van de snelheid waarmee de draden bewegen, terwijl de afstotende elektrische kracht dat niet doet (vandaar de algemene natuurkundige term elektrostatisch). Dus hoe snel zouden de draden moeten bewegen om de elektrische afstoting teniet te doen door de magnetische aantrekking? Dat kunnen we te weten komen door de twee krachtvergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen, zoals hieronder, en dan op te lossen voor v.
Een beetje algebra helpt ons de haakjes weg te werken en de breuk aan de rechterkant van de vergelijking te verminderen, wat het volgende oplevert:
Een verrassend resultaat bij deze stap is dat de term ladingsdichtheid op dezelfde plaats aan beide zijden van de vergelijking verschijnt en tot dezelfde macht wordt verheven, wat betekent dat hij kan worden “geannuleerd” – de snelheid waarmee de draden moeten bewegen om hun elektrische en magnetische krachten in evenwicht te brengen hangt helemaal niet af van hoe sterk ze zijn geladen. De factor van 2*pi*d heft ook op, wat betekent dat de afstand tussen de draden ook irrelevant is in deze vergelijking. Als u alle overbodige termen wegstreept, wordt de vergelijking:
en als u ten slotte v berekent, krijgt u:
Als u de werkelijke numerieke waarden voor de vacuümpermittiviteit en -permeabiliteit invoert, komt u uit op 299.792.400 meter per seconde – precies de snelheid van het licht!
Dus wat betekent dit? Ten eerste betekent het dat je de draden in werkelijkheid nooit snel genoeg kunt bewegen om hun elektrische afstoting volledig teniet te laten doen door hun magnetische aantrekkingskracht, omdat geen enkel massief voorwerp zich ooit met lichtsnelheid kan voortbewegen. Belangrijker is echter dat het ons een aanwijzing geeft waarom de lichtsnelheid in vacuüm is wat zij is; het is de snelheid waarbij de elektrische en magnetische krachten in evenwicht zijn om een stabiel elektromagnetisch golfpakket te creëren dat oneindig kan reizen. Nog langzamer en het foton zou uit elkaar vallen, net zoals de draden uit elkaar geduwd zouden worden door de elektrische afstoting. Nog sneller, en het magnetisme zou die afstoting overwinnen en ze samen trekken, waardoor het systeem in elkaar zou storten. Met niet meer dan wiskunde op de middelbare school is het gemakkelijk aan te tonen dat de lichtsnelheid in een medium (of in het vacuüm van de ruimte) onvermijdelijk ontstaat als gevolg van de elektrische permittiviteit en de magnetische permeabiliteit van dat medium.
Ik weet dat dit erg wiskundeachtig is voor een blogpost (op de universiteit moesten we dit allemaal uitwerken als huiswerkprobleem), maar hopelijk heeft het u een glimp gegeven van een van de meest opwindende en verslavende aspecten van de natuurkunde – de mogelijkheid om letterlijke universele waarheden af te leiden en te ontdekken met niets anders dan een beetje fantasie en wiskunde.