Random matrix theorie gaat uit van de veronderstelling dat het grootschalige gedrag van een complex systeem bepaald moet worden door zijn symmetrieën en de statistische eigenschappen van zijn parameters, en relatief ongevoelig moet zijn voor de precieze details van elk interagerend element. De theorie is er vooral op gericht de statistiek van de eigenwaarden en eigenvectoren van willekeurige matrices in de limiet van grote afmetingen te bepalen. Vroeg werk, afkomstig uit de kernfysica, richtte zich op ensembles met zowel Hermitische symmetrie als all-to-all interacties, vergelijkbaar met gemiddelde-veld modellen in de statistische fysica. Het versoepelen van de alles-op-alles aanname introduceert topologische wanorde en leidt tot ensembles van schaarse willekeurige matrices met vele nul-matrix entries. Zulke matrices modelleren complexe systemen waar een gegeven vrijheidsgraad interageert met een eindig aantal andere, en komen van nature voor in verband met systemen zoals neurale netwerken of ecosystemen.
Ondanks dit brede belang, echter, hebben sparse niet-Hermitische willekeurige matrices pas in het laatste decennium significante studie ontvangen, omdat standaard analysemethoden uit de random matrix theorie niet van toepassing zijn. Rigoureuze resultaten voor zulke matrices zijn er bijna niet, omdat het zeer moeilijk is om de convergentie van eigenschappen van eigenwaarden en eigenvectoren naar een deterministische limiet te bewijzen bij grote matrixgrootten. Recent onderzoek heeft echter vooruitgang geboekt met nieuwe benaderingen. In een nieuw artikel geeft LML Fellow Fernando Metz, samen met Izaak Neri van King’s College London en Tim Rogers van de University of Bath, een overzicht van de theoretische vooruitgang in de studie van de spectra van schaarse niet-Hermitische willekeurige matrices, met een focus op exacte benaderingen gebaseerd op een vruchtbare analogie tussen willekeurige-matrix berekeningen en de statistische mechanica van ongeordende spinsystemen. Zij tonen aan dat voor eenvoudige modellen deze methoden toegang geven tot analytische resultaten voor de spectrale eigenschappen van schaarse niet-Hermitische willekeurige matrices. Voor meer gecompliceerde modellen kunnen de spectrale eigenschappen ook berekend worden in de groot-groottelimiet met behulp van numerieke algoritmen.
Metz en collega’s sluiten hun overzicht af door op te merken dat de theorie van de sparse niet-Hermitische willekeurige matrices nog in de kinderschoenen staat, vergeleken met de klassieke willekeurige matrix theorie, en dat er nog veel onopgeloste vragen zijn. Eén daarvan is de kwestie van universaliteit. De belangstelling voor de random matrix theorie hangt grotendeels af van het universele gedrag van vele spectrale observabelen, die het mogelijk maken de stabiliteit van complexe dynamische systemen te bestuderen. In het geval van sparse willekeurige matrices lijkt deze mogelijkheid verloren te gaan ten gevolge van sterke lokale fluctuaties in de grafiekstructuur. Het blijkt echter dat vele ensembles van sparse niet-Hermitische willekeurige matrices toch enkele universele eigenschappen vertonen, zoals de spectrale kloof, de eigenwaarde met het grootste reële deel, en de eigenvectormomenten die met deze eigenwaarde corresponderen. Deze spectrale eigenschappen bepalen de stabiliteit en de dynamica in de stationaire toestand van complexe systemen. Het lijkt er dus op dat er hoop is om universeel gedrag te vinden voor schaarse matrices, als men naar de juiste observabelen kijkt, wat zou kunnen leiden tot een beter begrip van universaliteit in grote dynamische systemen.
Een voordruk van het artikel is beschikbaar op https://arxiv.org/abs/1811.10416