In de wiskunde worden tegenvoorbeelden vaak gebruikt om de grenzen van mogelijke stellingen aan te tonen. Door aan de hand van tegenvoorbeelden aan te tonen dat bepaalde vermoedens onjuist zijn, kunnen wiskundige onderzoekers voorkomen dat ze een doodlopende weg inslaan en leren om vermoedens zodanig te wijzigen dat er bewijsbare stellingen ontstaan. Men zegt wel eens dat wiskundige ontwikkeling vooral bestaat uit het vinden (en bewijzen) van stellingen en tegenvoorbeelden.
Voorbeeld rechthoekEdit
Voorstel dat een wiskundige meetkunde en vormen bestudeert, en dat zij daarover bepaalde stellingen wil bewijzen. Zij vermoedt dat “Alle rechthoeken zijn vierkanten”, en zij wil graag weten of deze stelling waar of onwaar is.
In dit geval kan zij ofwel proberen de waarheid van de stelling te bewijzen met behulp van deductief redeneren, of zij kan proberen een tegenvoorbeeld van de stelling te vinden als zij vermoedt dat deze onwaar is. In het laatste geval zou een tegenvoorbeeld een rechthoek zijn die geen vierkant is, bijvoorbeeld een rechthoek met twee zijden van lengte 5 en twee zijden van lengte 7. Maar ondanks het feit dat ze rechthoeken heeft gevonden die geen vierkant zijn, hebben alle rechthoeken die ze wel heeft gevonden vier zijden. Ze maakt dan de nieuwe veronderstelling “Alle rechthoeken hebben vier zijden”. Dit is logisch zwakker dan haar oorspronkelijke vermoeden, want elk vierkant heeft vier zijden, maar niet elke vorm met vier zijden is een vierkant.
In het bovenstaande voorbeeld is – vereenvoudigd – uitgelegd hoe een wiskundige haar vermoeden kan afzwakken als er tegenvoorbeelden zijn, maar tegenvoorbeelden kunnen ook gebruikt worden om de noodzaak van bepaalde aannames en hypothesen aan te tonen. Stel bijvoorbeeld dat de wiskundige hierboven na verloop van tijd tot de nieuwe conjectuur “Alle vormen die rechthoekig zijn en vier zijden van gelijke lengte hebben, zijn vierkanten” is gekomen. Deze hypothese bestaat uit twee delen: de vorm moet “een rechthoek” zijn en moet “vier zijden van gelijke lengte” hebben. De wiskundige wil dan weten of zij een van beide hypothesen kan weglaten, en toch de waarheid van haar vermoeden kan behouden. Dit betekent dat ze de waarheid van de volgende twee beweringen moet controleren:
- “Alle vormen die rechthoeken zijn, zijn vierkanten.”
- “Alle vormen die vier zijden van gelijke lengte hebben, zijn vierkanten”.
Een tegenvoorbeeld voor (1) is hierboven al gegeven, en een tegenvoorbeeld voor (2) is een niet-vierkante ruit. De wiskundige weet nu dus dat beide aannames inderdaad nodig waren.
Andere wiskundige voorbeeldenEdit
Een tegenvoorbeeld voor de stelling “alle priemgetallen zijn oneven getallen” is het getal 2, omdat het wel een priemgetal is, maar geen oneven getal. De getallen 7 en 10 zijn geen van beide een tegenvoorbeeld, want geen van beide is voldoende om de stelling tegen te spreken. In dit voorbeeld is 2 in feite het enige mogelijke tegenvoorbeeld van de uitspraak, ook al is dat op zich voldoende om de uitspraak tegen te spreken. Op dezelfde manier heeft de uitspraak “Alle natuurlijke getallen zijn priem of samengesteld” het getal 1 als tegenvoorbeeld, want 1 is noch priem noch samengesteld.
Eulers som der machten werd ontkracht door een tegenvoorbeeld. Het beweerde dat er minstens n-de machten nodig waren om tot een andere n-de macht te kunnen optellen. Dit vermoeden werd weerlegd in 1966, met een tegenvoorbeeld voor n = 5; andere n = 5 tegenvoorbeelden zijn nu bekend, evenals enkele n = 4 tegenvoorbeelden.
Witsenhausens tegenvoorbeeld toont aan dat het niet altijd waar is (voor regelproblemen) dat een kwadratische verliesfunctie en een lineaire evolutievergelijking van de toestandsvariabele optimale regelwetten impliceren die lineair zijn.
Andere voorbeelden zijn de weerlegging van het Seifert-conjectuur, het Pólya-conjectuur, het conjectuur van het veertiende probleem van Hilbert, het conjectuur van Tait, en het Ganea-conjectuur.