Wraz z nadejściem rock and rolla, Norman nabył swoją pierwszą gitarę w wieku siedmiu lat. Jego wczesne wpływy muzyczne były Elvis Presley, Little Richard, i Lonnie Donegan.
W tych wczesnych latach, rodzice Normana przeniósł się po kraju dużo, co spowodowało mu iść do dziewięciu różnych szkół, i mieszka w różnych miejscach w całej Anglii, takich jak Redcar, Luton, Kimpton, i Nottingham. Do 1962 r. rodzina przeniosła się jednak z powrotem do rodzinnego miasta matki Normana – Bradford. Zbliżając się do dwunastych urodzin, Norman rozpoczął naukę w St. Bede’s Grammar School, gdzie miał poznać Alana Silsona i Terry’ego Uttleya, przyszłych członków Smokie.
Jako nastolatkowie, pod wpływem nowej ery grup takich jak The Beatles i The Rolling Stones, a następnie piosenkarza folkowego, Boba Dylana, Norman i Silson zaczęli się spotykać i spędzali prawie cały swój wolny czas na nauce nowych piosenek na swoich gitarach. Udało im się namówić Uttley’a, aby do nich dołączył i wraz z przyjacielem perkusistą Ronem Kelly’m założyli swój pierwszy zespół. The Yen, Essence, i Long Side Down to tylko niektóre z wielu nazw, którymi się nazywali, zanim zdecydowali się na „The Elizabethans”. Kiedy Ron Kelly opuścił grupę w 1973 roku, stary przyjaciel Pete Spencer został poproszony o przejęcie perkusji, a grupa, która miała stać się Smokie, była kompletna.
Między 1974 a wczesnymi latami 80-tymi, Smokie cieszył się sukcesem koncertując na całym świecie, ale napięcie i presja ciągłego przebywania z dala od domu i rodziny zaczynały doskwierać Normanowi. Na początku lat 80. postanowił poświęcić więcej czasu na pisanie i pracę w studio. Norman i Spencer pracowali razem nad piosenkami dla innych artystów, w tym nad przebojami dla Kevina Keegana („Head Over Heels in Love”, przebój nr 31 w Wielkiej Brytanii) oraz nad piosenką reprezentacji Anglii w piłce nożnej „This Time (We’ll Get It Right)”. Współpracował również z Agnethą Fältskog (na jej solowym albumie), Racey (współautor „Baby It’s You”), Donovan (backing vocals na Donovan) i Heavy Metal Kids.
W 1978 roku Norman nagrał duet z Suzi Quatro, „Stumblin’ In”, który osiągnął No. 4 na US Billboard Hot 100 i sprzedał się w ponad milionie egzemplarzy.
Solowa kariera Normana nabrała rozpędu w 1986 roku dzięki piosence „Midnight Lady”, która stała się hitem w całej Europie, zajmując pierwsze miejsce w Niemczech przez sześć tygodni (gdzie sprzedała się w 900 000 egzemplarzy). Kolejne sukcesy przyniosły utwory „Some Hearts Are Diamonds”, „No Arms Can Ever Hold You”, „Broken Heroes”, „Fearless Hearts”, „Sarah” i „Baby I Miss You”. W 1994 roku Norman został uhonorowany przez CMT Europe jako ich „International Video Star of the Year”.
W 2004 roku wziął udział w Comeback Show w niemieckiej stacji telewizyjnej ProSieben i wykonał „Stumblin’ In” w duecie z C. C. Catch. W ostatnim odcinku show, został dołączony przez Smokie dla końcowej piosenki.
Na 2 czerwca 2007 roku, Norman wystąpił na Peel Bay Festival, Isle of Man.
.