SejsmologiaEdit
Koncepcja dekonwolucji miała wczesne zastosowanie w sejsmologii refleksyjnej. W 1950 roku, Enders Robinson był studentem na MIT. Współpracował z innymi osobami w MIT, takimi jak Norbert Wiener, Norman Levinson i ekonomista Paul Samuelson, w celu opracowania „modelu konwolucyjnego” sejsmogramu refleksyjnego. Model ten zakłada, że zarejestrowany sejsmogram s(t) jest połączeniem funkcji odbiciowości Ziemi e(t) i falki sejsmicznej w(t) pochodzącej ze źródła punktowego, gdzie t reprezentuje czas rejestracji. Tak więc, nasze równanie konwolucji to
s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {
Sejsmologa interesuje e, które zawiera informację o strukturze Ziemi. Na mocy twierdzenia o konwolucji równanie to można przekształcić Fouriera do postaci
S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) { {displaystyle S(omega )=E(omega )W(omega )}}
w dziedzinie częstotliwości, gdzie ω { {displaystyle \omega }
jest zmienną częstotliwościową. Zakładając, że refleksyjność jest biała, możemy przyjąć, że widmo mocy refleksyjności jest stałe, a widmo mocy sejsmogramu jest widmem falki pomnożonym przez tę stałą. Zatem, | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . {}
|S(ω )| ≈ k|W(ω )|. \Jeśli założymy, że falka ma minimalną fazę, możemy ją odzyskać, obliczając odpowiednik minimalnej fazy widma mocy, które właśnie znaleźliśmy. Refleksyjność może być odzyskana przez zaprojektowanie i zastosowanie filtru Wienera, który kształtuje oszacowaną falkę do funkcji delta Diraca (tj. spike). Wynik może być postrzegany jako seria przeskalowanych, przesuniętych funkcji delta (choć nie jest to matematycznie rygorystyczne): e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , { {suma _{i=1}^{N}r_{i} delta (t-tau _{i})
gdzie N jest liczbą zdarzeń odbicia, r i {displaystyle r_{i}}
są współczynnikami odbicia, t – τ i {displaystyle t-tau _{i}}
są czasami odbicia każdego zdarzenia, a δ {displaystyle \delta }
jest funkcją delta Diraca.
W praktyce, ponieważ mamy do czynienia z zaszumionymi, o skończonej szerokości pasma, skończonej długości, dyskretnie próbkowanymi zbiorami danych, powyższa procedura daje jedynie przybliżenie filtru wymaganego do dekonwolucji danych. Jednakże, formułując problem jako rozwiązanie macierzy Toeplitza i używając rekurencji Levinsona, możemy stosunkowo szybko oszacować filtr z najmniejszym możliwym błędem średniokwadratowym. Możemy również przeprowadzić dekonwolucję bezpośrednio w dziedzinie częstotliwości i uzyskać podobne rezultaty. Technika ta jest ściśle związana z predykcją liniową.
Optyka i inne obrazowanieEdit
W optyce i obrazowaniu, termin „dekonwolucja” jest w szczególności używany w odniesieniu do procesu odwracania zniekształceń optycznych, które mają miejsce w mikroskopie optycznym, mikroskopie elektronowym, teleskopie lub innym instrumencie obrazowania, tworząc w ten sposób wyraźniejsze obrazy. Jest to zwykle wykonywane w domenie cyfrowej przez algorytm oprogramowania, jako część zestawu technik przetwarzania obrazu mikroskopu. Dekonwolucja jest również praktyczne do wyostrzania obrazów, które cierpią z powodu szybkiego ruchu lub jiggles podczas przechwytywania. Wczesne obrazy Kosmicznego Teleskopu Hubble’a były zniekształcone przez wadliwe lustro i zostały wyostrzone przez dekonwolucję.
Zwykła metoda polega na założeniu, że ścieżka optyczna przez instrument jest optycznie doskonała, połączona z funkcją rozrzutu punktu (PSF), czyli funkcją matematyczną, która opisuje zniekształcenie w kategoriach drogi teoretycznego punktowego źródła światła (lub innych fal) przez instrument. Zazwyczaj takie źródło punktowe wnosi do obrazu końcowego niewielki obszar rozmycia. Jeśli ta funkcja może być określona, to jest to kwestia obliczenia jej odwrotności lub funkcji komplementarnej i przekonwertowania uzyskanego obrazu z tą funkcją. Wynikiem jest oryginalny, niezniekształcony obraz.
W praktyce, znalezienie prawdziwego PSF jest niemożliwe, i zazwyczaj używa się jego przybliżenia, obliczonego teoretycznie lub opartego na pewnych eksperymentalnych oszacowaniach przy użyciu znanych sond. Rzeczywiste układy optyczne mogą również mieć różne PSF przy różnych ogniskowych i lokalizacjach przestrzennych, a PSF może być nieliniowe. Dokładność aproksymacji PSF będzie dyktować wynik końcowy. Różne algorytmy mogą być stosowane w celu uzyskania lepszych wyników, za cenę większej pracochłonności obliczeniowej. Ponieważ oryginalna konwolucja odrzuca dane, niektóre algorytmy wykorzystują dodatkowe dane pozyskane w pobliskich punktach ogniskowych, aby uzupełnić część utraconych informacji. Regularizacja w algorytmach iteracyjnych (jak w algorytmach maksymalizacji oczekiwań) może być stosowana w celu uniknięcia nierealistycznych rozwiązań.
Gdy PSF jest nieznany, może być możliwe wydedukowanie go poprzez systematyczne wypróbowywanie różnych możliwych PSF i ocenę, czy obraz uległ poprawie. Ta procedura jest nazywana ślepą dekonwolucją. Ślepa dekonwolucja jest dobrze znaną techniką przywracania obrazu w astronomii, gdzie punktowa natura fotografowanych obiektów odsłania PSF, co czyni ją bardziej wykonalną. Jest ona również wykorzystywana w mikroskopii fluorescencyjnej do odtwarzania obrazu oraz w obrazowaniu spektralnym fluorescencji do separacji spektralnej wielu nieznanych fluoroforów. Najczęściej stosowanym algorytmem iteracyjnym jest algorytm dekonwolucji Richardsona-Lucy’ego; dekonwolucja Wienera (i jej przybliżenia) są najczęściej stosowanymi algorytmami nieiteracyjnymi.
W przypadku niektórych specyficznych systemów obrazowania, takich jak systemy terahercowe z impulsami laserowymi, PSF może być modelowane matematycznie. W rezultacie, jak pokazano na rysunku, dekonwolucja modelowanego PSF i obrazu terahercowego może dać reprezentację obrazu terahercowego o wyższej rozdzielczości.
RadioastronomiaEdit
Podczas wykonywania syntezy obrazu w interferometrii radiowej, specyficznym rodzaju radioastronomii, jeden z etapów polega na dekonwolucji wytworzonego obrazu z „brudną wiązką”, która jest inną nazwą funkcji rozrzutu punktu. Powszechnie stosowaną metodą jest algorytm CLEAN.
Widma absorpcyjneEdit
Dekonwolucja została szeroko zastosowana do widm absorpcyjnych. Algorytm Van Cittert (artykuł w języku niemieckim) może być używany.
Aspekty transformaty FourieraEdit
Dekonwolucja mapuje do podziału we współdziedzinie Fouriera. Pozwala to dekonwolucja być łatwo stosowane z danych doświadczalnych, które podlegają transformaty Fouriera. Przykładem jest spektroskopia NMR, gdzie dane są rejestrowane w dziedzinie czasu, ale analizowane w dziedzinie częstotliwości. Podział danych w dziedzinie czasu przez funkcję wykładniczą skutkuje zmniejszeniem szerokości linii Lorenza w dziedzinie częstotliwości.
.