Geometria analityczna trzech i więcej wymiarów

Pomimo, że zarówno Kartezjusz jak i Fermat sugerowali użycie trzech współrzędnych do badania krzywych i powierzchni w przestrzeni, trójwymiarowa geometria analityczna rozwijała się powoli aż do około 1730 roku, kiedy to szwajcarscy matematycy Leonhard Euler i Jakob Hermann oraz francuski matematyk Alexis Clairaut stworzyli ogólne równania dla cylindrów, stożków i powierzchni obrotowych. Na przykład, Euler i Hermann pokazali, że równanie f(z) = x2 + y2 daje powierzchnię, która powstaje przez obrót krzywej f(z) = x2 wokół osi z (patrz rysunek, który pokazuje paraboloidę eliptyczną z = x2 + y2).

Newton postawił niezwykłe twierdzenie, że wszystkie płaskie sześciany powstają z tych w jego trzeciej standardowej formie przez rzutowanie między płaszczyznami. Zostało to udowodnione niezależnie w 1731 roku przez Clairauta i francuskiego matematyka François Nicole. Clairaut otrzymał wszystkie sześciany w czterech standardowych formach Newtona jako odcinki stożka sześciennego conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 składającego się z linii w przestrzeni, które łączą początek (0, 0, 0) z punktami na trzecim standardowym sześcianie w płaszczyźnie z = 1.

W 1748 roku Euler wykorzystał równania dla obrotów i translacji w przestrzeni do przekształcenia ogólnej powierzchni czworokątnejax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 tak, że jej osie główne pokrywają się z osiami współrzędnych. Euler oraz francuscy matematycy Joseph-Louis Lagrange i Gaspard Monge uniezależnili geometrię analityczną od geometrii syntetycznej (nieanalitycznej).

Analiza wektorowa

W przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru, wektory – skierowane odcinki linii – mogą być określone przez współrzędne. N-tuple (a1, …, an) reprezentuje wektor w przestrzeni n-wymiarowej, który rzutuje na liczby rzeczywiste a1, …, an na osiach współrzędnych.

W 1843 roku irlandzki matematyk-astronom William Rowan Hamilton reprezentował czterowymiarowe wektory algebraicznie i wynalazł kwaterniony, pierwszą algebrę niekomutatywną, która była szeroko badana. Mnożenie kwaternionów przez zero o jednej współrzędnej doprowadziło Hamiltona do odkrycia fundamentalnych operacji na wektorach. Fizycy matematyczni uznali jednak, że notacja używana w analizie wektorowej jest bardziej elastyczna – w szczególności, że można ją łatwo rozszerzyć na przestrzenie nieskończenie wymiarowe. Kwaterniony pozostały interesujące algebraicznie i zostały włączone w latach sześćdziesiątych do pewnych nowych modeli fizyki cząstek elementarnych.

Projekcje

As readily available computing power grew exponentially in the last decades of the 20th century, computer animation and computer-aided design became ubiquitous. Aplikacje te oparte są na trójwymiarowej geometrii analitycznej. Współrzędne są używane do określania krawędzi lub krzywych parametrycznych, które tworzą granice powierzchni wirtualnych obiektów. Analiza wektorowa jest używana do modelowania oświetlenia i określania realistycznych cieni powierzchni.

Już w 1850 roku Julius Plücker połączył geometrię analityczną i rzutową, wprowadzając jednorodne współrzędne, które reprezentują punkty na płaszczyźnie euklidesowej (patrz geometria euklidesowa) i w nieskończoności w jednolity sposób jako trójki. Transformacje rzutowe, które są odwracalnymi liniowymi zmianami współrzędnych jednorodnych, są zadawane przez mnożenie macierzy. Pozwala to programom grafiki komputerowej efektywnie zmieniać kształt lub widok przedstawionych obiektów i rzutować je z trójwymiarowej przestrzeni wirtualnej na dwuwymiarowy ekran oglądającego.

Robert Alan BixHarry Joseph D’Souza