W matematyce, kontrprzykłady są często używane do udowodnienia granic możliwych twierdzeń. Używając kontrprzykładów do wykazania, że pewne przypuszczenia są fałszywe, badacze matematyczni mogą uniknąć podążania ślepymi uliczkami i nauczyć się modyfikować przypuszczenia tak, aby powstały twierdzenia możliwe do udowodnienia. Mówi się czasem, że rozwój matematyki polega przede wszystkim na znajdowaniu (i udowadnianiu) twierdzeń i kontrprzykładów.
Przykład prostokątaEdit
Załóżmy, że matematyk bada geometrię i kształty, i chce udowodnić pewne twierdzenia na ich temat. Domyśla się, że „Wszystkie prostokąty są kwadratami” i jest zainteresowana wiedzą, czy to stwierdzenie jest prawdziwe czy fałszywe.
W tym przypadku może ona albo próbować udowodnić prawdziwość tego stwierdzenia używając rozumowania dedukcyjnego, albo może próbować znaleźć kontrprzykład tego stwierdzenia, jeśli podejrzewa, że jest ono fałszywe. W tym drugim przypadku kontrprzykładem mógłby być prostokąt, który nie jest kwadratem, np. prostokąt o dwóch bokach długości 5 i dwóch bokach długości 7. Jednak mimo znalezienia prostokątów, które nie były kwadratami, wszystkie prostokąty, które znalazła, miały cztery boki. Wysuwa więc nowe przypuszczenie: „Wszystkie prostokąty mają cztery boki”. Jest to logicznie słabsze niż jej pierwotne przypuszczenie, ponieważ każdy kwadrat ma cztery boki, ale nie każdy czteroboczny kształt jest kwadratem.
Powyższy przykład wyjaśnił – w uproszczony sposób – jak matematyk może osłabić swoje przypuszczenie w obliczu kontrprzykładów, ale kontrprzykłady mogą być również wykorzystane do wykazania konieczności pewnych założeń i hipotez. Na przykład, załóżmy, że po pewnym czasie, matematyk powyżej osiadł na nowym przypuszczeniu „Wszystkie kształty, które są prostokątami i mają cztery boki o równej długości są kwadratami”. To przypuszczenie ma dwie części hipotezy: kształt musi być „prostokątem” i musi mieć „cztery boki równej długości”. Matematyk chciałby więc wiedzieć, czy może usunąć któreś z tych założeń i nadal utrzymać prawdziwość swojego przypuszczenia. Oznacza to, że musi sprawdzić prawdziwość następujących dwóch stwierdzeń:
- „Wszystkie figury, które są prostokątami są kwadratami.”
- „Wszystkie figury, które mają cztery boki równej długości są kwadratami”.
Kontrprzykład do (1) został już podany powyżej, a kontrprzykładem do (2) jest niekwadratowy romb. Zatem matematyk wie teraz, że oba założenia były rzeczywiście konieczne.
Inne przykłady matematyczneEdit
Kontrprzykładem twierdzenia „wszystkie liczby pierwsze są liczbami nieparzystymi” jest liczba 2, gdyż jest ona liczbą pierwszą, ale nie jest liczbą nieparzystą. Żadna z liczb 7 lub 10 nie jest kontrprzykładem, ponieważ żadna z nich nie jest wystarczająca, aby zaprzeczyć temu stwierdzeniu. W tym przykładzie, 2 jest w rzeczywistości jedynym możliwym kontrprzykładem do stwierdzenia, mimo że samo to wystarczy, aby zaprzeczyć stwierdzeniu. W podobny sposób, oświadczenie „Wszystkie liczby naturalne są albo prime lub złożone” ma liczbę 1 jako counterexample, jak 1 jest ani prime ani composite.
Euler suma uprawnień conjecture został obalony przez counterexample. Twierdził on, że co najmniej n-tych potęg były niezbędne do sumy do innej n-tej potęgi. To przypuszczenie zostało obalone w 1966 roku, z kontrprzykładem dotyczącym n = 5; inne n = 5 kontrprzykłady są obecnie znane, jak również niektóre n = 4 kontrprzykłady.
Kontrprzykład Witsenhausena pokazuje, że nie zawsze jest prawdą (dla problemów sterowania), że kwadratowa funkcja straty i liniowe równanie ewolucji zmiennej stanu implikują optymalne prawa sterowania, które są liniowe.
Inne przykłady obejmują disproofs of the Seifert conjecture, the Pólya conjecture, the conjecture of Hilbert’s fourteenth problem, Tait’s conjecture, and the Ganea conjecture.
.