Teoria macierzy losowych wychodzi z założenia, że wielkoskalowe zachowanie złożonego systemu powinno być regulowane przez jego symetrie i własności statystyczne jego parametrów, i być względnie niewrażliwe na dokładne szczegóły każdego oddziałującego elementu. Celem teorii jest przede wszystkim określenie statystyki wartości własnych i wektorów własnych macierzy losowych w granicy dużych rozmiarów. Wczesne prace, wywodzące się z fizyki jądrowej, koncentrowały się na zespołach posiadających zarówno symetrię hermitowską, jak i oddziaływanie all-to-all, podobnie jak w modelach mean-field w fizyce statystycznej. Rozluźnienie założenia all-to-all wprowadza topologiczny nieporządek i prowadzi do zespołów rzadkich macierzy losowych z wieloma zerowymi pozycjami w macierzy. Takie macierze modelują złożone systemy, w których dany stopień swobody oddziałuje ze skończoną liczbą innych, i pojawiają się naturalnie w związku z systemami takimi jak sieci neuronowe czy ekosystemy.
Pomimo tak szerokiego znaczenia, jednakże, rzadkie niehermitowskie macierze losowe były przedmiotem znaczących badań dopiero w ostatniej dekadzie, ponieważ standardowe metody analizy z teorii macierzy losowych nie mają zastosowania. Rygorystyczne wyniki dla takich macierzy prawie nie istnieją, ponieważ bardzo trudno jest udowodnić zbieżność własności wartości własnych i wektorów własnych do deterministycznej granicy przy dużych rozmiarach macierzy. Jednakże, ostatnie badania przyniosły postęp dzięki nowym podejściom. W nowym artykule, stypendysta LML Fernando Metz, wraz z Izaakiem Neri z King’s College London i Timem Rogersem z University of Bath, dokonują przeglądu teoretycznego postępu w badaniach widm rzadkich niehermitowskich macierzy losowych, skupiając się na dokładnych podejściach opartych na owocnej analogii pomiędzy obliczeniami macierzy losowych i mechaniką statystyczną nieuporządkowanych układów spinowych. Jak pokazują, dla prostych modeli, metody te dają dostęp do analitycznych wyników dla własności spektralnych rzadkich niehermitowskich macierzy losowych. Dla bardziej skomplikowanych modeli, własności spektralne mogą być również obliczone w granicy dużych rozmiarów przy użyciu algorytmów numerycznych.
Metz i współpracownicy zamykają swój przegląd zauważając, że teoria rzadkich niehermitowskich macierzy losowych jest wciąż w powijakach, w porównaniu z klasyczną teorią macierzy losowych, i jest wiele nierozwiązanych kwestii. Wśród nich jest kwestia uniwersalności. Zainteresowanie teorią macierzy losowych zależy w dużej mierze od uniwersalnego zachowania wielu obserwabli spektralnych, co pozwala na badanie stabilności złożonych układów dynamicznych. W przypadku rzadkich macierzy losowych możliwość ta wydaje się być utracona ze względu na silne lokalne fluktuacje w strukturze grafu. Okazuje się jednak, że wiele zespołów rzadkich niehermitowskich macierzy losowych wykazuje pewne uniwersalne własności, takie jak luka spektralna, wartość własna o największej części rzeczywistej oraz momenty wektora własnego odpowiadające tej wartości własnej. Te własności spektralne określają stabilność i dynamikę w stanie ustalonym układów złożonych. Stąd wydaje się, że jest nadzieja na znalezienie uniwersalnego zachowania dla nieliczbowych macierzy, jeśli spojrzy się na właściwe obserwabli, co może prowadzić do lepszego zrozumienia uniwersalności w dużych układach dynamicznych.
Przedruk pracy jest dostępny pod adresem https://arxiv.org/abs/1811.10416
.