Properties of Sets Under an Operation
Matematycy są często zainteresowani tym, czy pewne zbiory mają szczególne właściwości pod daną operacją. Jednym z powodów, dla których matematycy byli tym zainteresowani, było to, że mogli określić, kiedy równania będą miały rozwiązania. Jeśli zbiór pod daną operacją ma pewne ogólne własności, to możemy na przykład rozwiązywać równania liniowe w tym zbiorze.
Istnieje kilka ważnych własności, które zbiór może lub nie może spełniać pod daną operacją. Własność to pewna reguła, która zachodzi, jeśli jest prawdziwa dla wszystkich elementów zbioru pod daną operacją, a własność nie zachodzi, jeśli istnieje co najmniej jedna para elementów, które nie spełniają tej własności pod daną operacją.
Mówienie o właściwościach w tak abstrakcyjny sposób nie ma jeszcze sensu, więc przyjrzyjmy się kilku przykładom właściwości, abyś mógł lepiej zrozumieć, czym one są. W tym wykładzie poznamy właściwość zamknięcia.
Własność domknięcia
Zbiór ma własność domknięcia pod pewną operacją, jeśli wynikiem tej operacji jest zawsze element w zbiorze. Jeśli zbiór ma własność domknięcia pod określoną operacją, to mówimy, że zbiór jest „zamknięty pod operacją”.
Znacznie łatwiej jest zrozumieć właściwość, patrząc na przykłady, niż po prostu mówiąc o niej w sposób abstrakcyjny, więc przejdźmy do patrzenia na przykłady, abyś mógł zobaczyć dokładnie, o czym mówimy, gdy mówimy, że zbiór ma własność domknięcia:
Na początek przyjrzyjmy się kilku zbiorom nieskończonym z operacjami, które są nam już znane:
a) Zbiór liczb całkowitych jest zamknięty pod operacją dodawania, ponieważ suma dowolnych dwóch liczb całkowitych jest zawsze inną liczbą całkowitą i dlatego jest w zbiorze liczb całkowitych.
b) Zbiór liczb całkowitych nie jest zamknięty pod operacją dzielenia, ponieważ gdy dzielimy jedną liczbę całkowitą przez drugą, nie zawsze otrzymujemy inną liczbę całkowitą jako odpowiedź. Na przykład, 4 i 9 są liczbami całkowitymi, ale 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 nie jest liczbą całkowitą, więc nie jest w zbiorze liczb całkowitych!
aby zobaczyć więcej przykładów zbiorów nieskończonych, które spełniają i nie spełniają własności zamknięcia.
c) Zbiór liczb racjonalnych jest zamknięty pod operacją mnożenia, ponieważ iloczyn dowolnych dwóch liczb racjonalnych zawsze będzie inną liczbą racjonalną, a zatem będzie w zbiorze liczb racjonalnych. Dzieje się tak dlatego, że mnożenie dwóch ułamków zawsze da w wyniku inny ułamek, ponieważ iloczyn dwóch ułamków a/b i c/d da w wyniku ac/bd. Jedynym możliwym sposobem, że ac/bd nie może być ułamek jest, jeśli bd jest równa 0. Ale jeśli a / b i c / d są zarówno ułamki, oznacza to, że ani b, ani d jest 0, więc bd nie może być 0.
d) Zbiór liczb naturalnych nie jest zamknięty w operacji odejmowania, ponieważ kiedy odjąć jedną liczbę naturalną od innej, nie zawsze otrzymasz inną liczbę naturalną. Na przykład, 5 i 16 są zarówno liczby naturalne, ale 5 – 16 = – 11. – 11 nie jest liczbą naturalną, więc nie jest w zbiorze liczb naturalnych!
Przyjrzyjrzyjmy się teraz kilku przykładom zbiorów skończonych z operacjami, które mogą nie być nam znane:
e) Zbiór {1,2,3,4} nie jest zamknięty pod operacją dodawania, ponieważ 2 + 3 = 5, a 5 nie jest elementem zbioru {1,2,3,4}.
Możemy się o tym przekonać również patrząc na tabelę operacji dla zbioru {1,2,3,4} pod operacją dodawania:
|
+ |
||||
Zbiór{1,2,3,4} nie jest domknięty pod operacją +, ponieważ istnieje co najmniej jeden wynik (wszystkie wyniki są zacieniowane na pomarańczowo), który nie jest elementem zbioru {1,2,3,4}. Na diagramie znajdują się wyniki 5, 6, 7 i 8, z których żaden nie jest elementem zbioru {1,2,3,4}!
f) Zbiór {a,b,c,d,e} ma następującą tablicę operacji dla operacji *:
|
* |
a |
b |
c |
d |
e |
||
|
a |
b |
c |
e |
a |
d |
||
|
b |
d |
a |
c |
b |
e |
||
|
c |
c |
d |
b |
e |
a |
||
|
d |
a |
e |
d |
c |
b |
||
|
e |
e |
e |
e |
b |
a |
d |
c |
Zbiór{a,b,c,d,e} jest zamknięty pod operacją *, ponieważ wszystkie wyniki (które są zacieniowane na pomarańczowo) są elementami zbioru {a,b,c,d,e}.
by zobaczyć inny przykład.
g) Zbiór {a,b,c,d,e} ma następującą tablicę operacji dla operacji $:
|
a |
b |
c |
d |
e |
|
|
a |
b |
f |
e |
a |
h |
|
b |
d |
a |
c |
h |
e |
|
c |
c |
d |
b |
g |
a |
|
d |
g |
e |
d |
c |
b |
|
e |
e |
b |
h |
d |
c |
Zbiór{a,b,c,d,e} nie jest domknięty pod operacją $, ponieważ istnieje co najmniej jeden wynik (wszystkie wyniki są zacieniowane na pomarańczowo), który nie jest elementem zbioru {a,b,c,d,e}. Na przykład, zgodnie z wykresem, a$b=f. Ale f nie jest elementem zbioru {a,b,c,d,e}!
.