Wprowadzenie do chemii – Wydanie I kanadyjskie

W rozdziale 2.2 „Wyrażanie jednostek” pokazaliśmy kilka przykładów, jak zastąpić jednostki początkowe innymi jednostkami tego samego typu, aby uzyskać wartość liczbową, która jest łatwiejsza do zrozumienia. W tym rozdziale sformalizujemy ten proces.

Rozważmy prosty przykład: ile stóp jest w 4 jardach? Większość ludzi niemal automatycznie odpowie, że w 4 jardach jest 12 stóp. W jaki sposób dokonaliście tego ustalenia? Cóż, jeśli na 1 jard przypadają 3 stopy, a jardów jest 4, to na 4 jardach jest 4 × 3 = 12 stóp.

Jest to oczywiście poprawne, ale nieformalne. Sformalizujmy to w sposób, który może być stosowany bardziej ogólnie. Wiemy, że 1 jard (yd) równa się 3 stopy (ft):

1 yd = 3 ft

W matematyce to wyrażenie nazywa się równością. Zasady algebry mówią, że możesz zmienić (tzn. pomnożyć, podzielić, dodać lub odjąć) równość (tak długo, jak nie dzielisz przez zero), a nowe wyrażenie nadal będzie równością. Na przykład, jeśli podzielimy obie strony przez 2, otrzymamy

Widzimy, że pół jarda równa się 3/2, czyli półtora stopy – coś, co również wiemy, że jest prawdą, więc powyższe równanie nadal jest równością. Wracając do oryginalnej równości, załóżmy, że podzielimy obie strony równania przez 1 jard (liczbę i jednostkę):

Wyrażenie nadal jest równością, zgodnie z zasadami algebry. Lewy ułamek równa się 1. Ma tę samą ilość w liczniku i mianowniku, więc musi być równy 1. Wielkości w liczniku i mianowniku anulują się, zarówno liczba, jak i jednostka:

Gdy wszystko anuluje się w ułamku, ułamek redukuje się do 1:

Mamy wyrażenie, 3 ft1 yd, które jest równe 1. Jest to dziwny sposób zapisu 1, ale ma sens: 3 ft równa się 1 yd, więc wielkości w liczniku i mianowniku są tymi samymi wielkościami, tylko wyrażonymi w różnych jednostkach. Wyrażenie 3 ft1 yd nazywamy współczynnikiem konwersji i używamy go do formalnej zamiany jednostki danej wielkości na inną jednostkę. (Proces konwersji jednostek w taki formalny sposób jest czasami nazywany analizą wymiarową lub metodą oznaczania czynnika.)

Aby zobaczyć, jak to się dzieje, zacznijmy od oryginalnej wielkości:

4 yd

Teraz pomnóżmy tę wielkość przez 1. Kiedy mnożymy cokolwiek przez 1, nie zmieniamy wartości wielkości. Zamiast mnożyć tylko przez 1, zapiszmy 1 jako 3 ft1 yd:

Wyraz 4 yd można traktować jako 4 yd/1; to znaczy, można go traktować jako ułamek z 1 w mianowniku. Zasadniczo mnożymy ułamki. Jeśli ta sama rzecz pojawia się w liczniku i mianowniku ułamka, to się one anulują. W tym przypadku to, co się anuluje, to jednostka jard:

To wszystko, co możemy anulować. Teraz pomnóż i podziel wszystkie liczby, aby otrzymać ostateczną odpowiedź:

Ponownie, otrzymujemy odpowiedź 12 ft, tak jak w oryginale. Ale w tym przypadku użyliśmy bardziej formalnej procedury, która ma zastosowanie do różnych problemów.

Ile milimetrów mieści się w 14,66 m? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy skonstruować współczynnik konwersji między milimetrami i metrami i zastosować go poprawnie do oryginalnej wielkości. Zaczynamy od definicji milimetra, która brzmi

1 mm = 1/1,000 m

1/1,000 oznacza przedrostek milli-. Większość ludzi czuje się bardziej komfortowo pracując bez ułamków, więc przepiszemy to równanie przenosząc 1,000 do licznika drugiej strony równania:

1,000 mm = 1 m

Teraz konstruujemy współczynnik konwersji dzieląc jedną wielkość na obie strony. Ale teraz pojawia się pytanie: przez którą wielkość dzielimy? Okazuje się, że mamy dwa wyjścia, a te dwa wyjścia dadzą nam różne współczynniki konwersji, z których oba są równe 1:

Którego współczynnika konwersji użyjemy? Odpowiedź jest oparta na tym, jakiej jednostki chcemy się pozbyć w naszej początkowej ilości. Oryginalną jednostką naszej ilości są metry, które chcemy przekonwertować na milimetry. Ponieważ zakłada się, że oryginalna jednostka jest w liczniku, aby się jej pozbyć, chcemy, aby jednostka metra była w mianowniku; wtedy się one znoszą. Dlatego użyjemy drugiego współczynnika konwersji. Odwołując jednostki i wykonując działania matematyczne, otrzymujemy

Zauważ, jak m się odwołuje, pozostawiając mm, które jest jednostką zainteresowania.

Umiejętność konstruowania i stosowania właściwych współczynników konwersji jest bardzo potężną techniką matematyczną w chemii. Musisz opanować tę technikę, jeśli chcesz odnieść sukces w tym i przyszłych kursach.

A co jeśli mamy jednostkę pochodną, która jest iloczynem więcej niż jednej jednostki, np. m2? Załóżmy, że chcemy przeliczyć metry kwadratowe na centymetry kwadratowe? Kluczem jest zapamiętanie, że m2 oznacza m × m, co oznacza, że mamy dwie jednostki metrowe w naszej jednostce pochodnej. Oznacza to, że musimy uwzględnić dwa współczynniki konwersji, po jednym dla każdej jednostki. Na przykład, aby przekonwertować 17,6 m2 na centymetry kwadratowe, wykonujemy konwersję w następujący sposób:

Załóżmy, że jednostka, którą chcemy przeliczyć jest w mianowniku jednostki pochodnej; co wtedy? Wtedy, we współczynniku konwersji, jednostka, którą chcesz usunąć, musi być w liczniku. Spowoduje to anulowanie oryginalnej jednostki w mianowniku i wprowadzenie nowej jednostki w mianowniku. Poniższy przykład ilustruje tę sytuację.

.