Zbiór Cantora

CardinalityEdit

Można pokazać, że w tym procesie pozostaje tyle samo punktów, ile było na początku, a zatem zbiór Cantora jest niepoliczalny. Aby się o tym przekonać, pokażemy, że istnieje funkcja f ze zbioru Cantora C {{displaystyle {{mathcal {C}}}

do zamkniętego przedziału, która jest surjektywna (tzn. f mapuje z C {displaystyle {mathcal {C}}

na ) tak, że kardynalność C {{displaystyle {{mathcal {C}}}

jest nie mniejsza niż kardynalność C {{displaystyle {{mathcal {C}}}

.

jest podzbiorem , jego kardynalność również nie jest większa, więc te dwie kardynalności muszą być równe, zgodnie z twierdzeniem Cantora-Bernsteina-Schrödera.

Aby skonstruować tę funkcję, rozważmy punkty w przedziale w notacji bazowej 3 (lub trójkowej). Przypomnijmy, że właściwe ułamki trójargumentowe, a dokładniej: elementy ( Z ∖ { 0 } ) ⋅ 3 – N 0 { {przyp. tłum. _{0}}}

, dopuszczają więcej niż jedną reprezentację w tej notacji, jak na przykład 1/3, którą można zapisać jako 0,13 = 0,103, ale także jako 0,0222…3 = 0,023, oraz 2/3, którą można zapisać jako 0,23 = 0.203, ale także jako 0.1222…3 = 0.123.Gdy usuniemy środkową tercję, to zawiera ona liczby z trójskładnikowymi cyframi postaci 0.1xxxxx…3, gdzie xxxxx…3 jest ściśle pomiędzy 00000…3 a 22222…3. Zatem liczby pozostałe po pierwszym kroku składają się z

• Liczby postaci 0,0xxxxx…3 (w tym 0,022222…3 = 1/3)
• Liczby postaci 0,2xxxxx…3 (w tym 0,222222…3 = 1)

Można to podsumować stwierdzeniem, że liczby z reprezentacją trójskładnikową taką, że pierwsza cyfra po punkcie radix nie jest 1, to liczby pozostałe po pierwszym kroku.

Drugi krok usuwa liczby w postaci 0.01xxxx…3 i 0.21xxxx…3, i (z odpowiednią dbałością o punkty końcowe) można stwierdzić, że pozostałe liczby to te z trójskładnikową reprezentacją, w której żadna z dwóch pierwszych cyfr nie jest 1.

Kontynuując w ten sposób, aby liczba nie została wykluczona w kroku n, musi mieć trójskładnikową reprezentację, której n-ta cyfra nie jest 1. Aby liczba była w zbiorze Cantora, nie może być wykluczona na żadnym kroku, musi mieć reprezentację liczbową składającą się wyłącznie z 0s i 2s.

Warto podkreślić, że liczby takie jak 1, 1/3 = 0,13 i 7/9 = 0,213 są w zbiorze Cantora, gdyż mają reprezentacje liczbowe trójskładające się wyłącznie z 0s i 2s: 1 = 0,222…3 = 0,23, 1/3 = 0,0222…3 = 0,023 i 7/9 = 0,20222…3 = 0,2023.Wszystkie te ostatnie liczby są „punktami końcowymi”, a te przykłady są prawymi punktami granicznymi zbioru C {{przykłady.

. Podobnie jest w przypadku lewych punktów granicznych C {{displaystyle {{mathcal {C}}}

, np. 2/3 = 0,1222…3 = 0,123 = 0,203 oraz 8/9 = 0,21222…3 = 0,2123 = 0,2203. Wszystkie te punkty końcowe są właściwymi ułamkami trójskładnikowymi (elementami Z ⋅ 3 – N 0 {przyp. tłum. \^{- ^dot 3^{- ^mathbb {N} _{0}}}

) postaci p/q, gdzie mianownik q jest potęgą 3, gdy ułamek jest w postaci nieredukowalnej. Trójskładnikowa reprezentacja tych ułamków kończy się (tzn. jest skończona) lub – przypomnijmy z góry, że właściwe ułamki trójskładnikowe mają po 2 reprezentacje – jest nieskończona i „kończy się” albo nieskończenie wieloma powtarzającymi się 0, albo nieskończenie wieloma powtarzającymi się 2. Taki ułamek jest lewym punktem granicznym C {{displaystyle {{mathcal {{C}}}}

jeśli jego trójkowa reprezentacja nie zawiera 1 i „kończy się” nieskończenie wieloma powtarzającymi się 0. Podobnie, odpowiedni ułamek trójkowy jest prawym punktem granicznym C {{displaystyle {{mathcal {C}}}

jeśli ponownie jego trójskładniowa ekspansja nie zawiera jedynek i „kończy się” nieskończenie wieloma powtarzającymi się dwójkami.

Ten zbiór punktów końcowych jest gęsty w C {\i1}.

(ale nie gęsty w ) i tworzy zbiór przeliczalnie nieskończony. Liczby w C {\i0}

, które nie są punktami końcowymi, też mają w swojej trójkowej reprezentacji tylko 0 i 2, ale nie mogą się kończyć nieskończonym powtórzeniem cyfry 0, ani cyfry 2, bo wtedy byłby to punkt końcowy.

Funkcja z C {{displaystyle {{mathcal {C}}}

do jest definiowana przez wzięcie cyfr trójkowych, które składają się wyłącznie z 0 i 2, zastąpienie wszystkich 2 przez 1 i zinterpretowanie sekwencji jako binarnej reprezentacji liczby rzeczywistej. We wzorze, f ( ∑ k ∈ N a k 3 – k ) = ∑ k ∈ N a k 2 2 – k {displaystyle f{{bigg (}} suma _{k} w \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{{bigg )}= suma _{k} w \mathbb {N} {{frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}}.

gdzie ∀ k ∈ N : a k ∈ { 0 , 2 } . {Dla wszystkich k w ∈ N :a_{k} w ∈ {0 , 2 } }.

Dla dowolnej liczby y w , jej binarną reprezentację można przetłumaczyć na trójskładnikową reprezentację liczby x w C {displaystyle \mathcal {C}}

przez zastąpienie wszystkich 1s przez 2s. Dzięki temu f(x) = y, więc y jest w przedziale f. Na przykład, jeśli y = 3⁄5 = 0.100110011001…2 = 0.1001, to piszemy x = 0.2002 = 0.200220022002…3 = 7⁄10. W związku z tym, f jest surjektywna. Jednak f nie jest injekcyjna – wartości, dla których f(x) jest zbieżna, to wartości na przeciwległych końcach jednej z usuniętych środkowych tercji. Na przykład, weźmy 1⁄3 = 0,023 (co jest prawym punktem granicznym C {{displaystyle {{mathcal {C}}}

i lewy punkt graniczny środkowej tercji ) i 2⁄3 = 0,203 (który jest lewym punktem granicznym C {displaystyle {mathcal {C}}

i prawym punktem granicznym środkowej tercji )

so

f ( 1 / 3 ) = f ( 0,0 2 ż 3 ) = 0,0 1 ż 2 = 0,1 2 = 0,1 0 ż 2 = f ( 0,2 0 ż 3 ) = f ( 2 / 3 ) . ∥ 1 / 2 {}displaystyle {{begin{array}{lcl}f (}{^{1}}}}=f(0.0{overline {2}}}_{3}})=0.0{overline {1}}_{2}}= 0.1_{2}}}}.\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}

Więc w zbiorze Cantora jest tyle samo punktów, co w przedziale (który ma niepoliczalną kardynalność c = 2 ℵ 0 {{displaystyle {{mathfrak {c}}=2^{aleph _{0}}}).

). Jednak zbiór punktów końcowych usuniętych przedziałów jest policzalny, więc w zbiorze Cantora musi być niepoliczalnie wiele liczb, które nie są punktami końcowymi przedziałów. Jak zauważono powyżej, jednym z przykładów takiej liczby jest 1⁄4, którą można zapisać jako 0,020202…3 = 0,02 w notacji trójskładnikowej. W rzeczywistości, biorąc pod uwagę dowolną liczbę a ∈ {displaystyle a }

, istnieją x , y ∈ C {{displaystyle x,y}} {{mathcal {C}}}

takie, że a = y – x {displaystyle a=y-x}

. Po raz pierwszy zostało to wykazane przez Steinhausa w 1917 roku, który udowodnił, za pomocą argumentu geometrycznego, równoważne twierdzenie, że { ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a } ∩ ( C × C ) ≠ ∅ {displaystyle \(x,y)\ w \mathbb {R} ^{2} \, \(y=x+a}}; \cap \;(\mathcal {C}}times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }

for every a ∈ {displaystyle a\}in }

. Ponieważ ta konstrukcja zapewnia wstrzyknięcie z {displaystyle }

do C × C {{displaystyle {{mathcal {C}}}}

, mamy | C × C | ≥ | | = c {{displaystyle {{mathcal {C}} czasy {{mathcal {C}}}|geq ||={mathfrak {c}}}.

jako natychmiastowe następstwo. Zakładając, że | A × A | = | A | {displaystyle |A|times A|=|A|}

dla dowolnego nieskończonego zbioru A {{displaystyle A}

(twierdzenie, które Tarski uznał za równoważne aksjomatowi wyboru), to kolejny dowód na to, że | C | = c {displaystyle |{mathcal {C}}|={mathfrak {c}}}.

.

Zbiór Cantora zawiera tyle punktów, ile wynosi przedział, z którego jest wzięty, ale sam nie zawiera przedziału o niezerowej długości. Liczby irracjonalne mają tę samą własność, ale zbiór Cantora ma dodatkową własność bycia domkniętym, więc nie jest nawet gęsty w żadnym przedziale, w przeciwieństwie do liczb irracjonalnych, które są gęste w każdym przedziale.

Przewidywano, że wszystkie algebraiczne liczby irracjonalne są normalne. Ponieważ członkowie zbioru Cantora nie są normalne, oznaczałoby to, że wszyscy członkowie zbioru Cantora są albo racjonalne lub transcendentalne.

SamopodobieństwoEdit

Zbiór Cantora jest prototypem fraktala. Jest on samopodobny, ponieważ jest równy dwóm kopiom samego siebie, jeśli każda kopia jest zmniejszona o czynnik 3 i przetłumaczona. Dokładniej, zbiór Cantora jest równy unii dwóch funkcji, lewego i prawego przekształcenia samopodobieństwa samego siebie, T L ( x ) = x / 3 {{displaystyle T_{L}(x)=x/3}}

oraz T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}

, które pozostawiają zbiór Cantora niezmiennikiem aż do homeomorfizmu: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C = T L ( C ) ∪ T R ( C ) . T_{L}({{mathcal {C}})∪ T_{R}({{mathcal {C}})∪ T_{L}({{mathcal {C}})∪ T_{R}({{mathcal {C}}).}

Powtórzona iteracja T L {{L}}

i T R {{displaystyle T_{R}}

mogą być wizualizowane jako nieskończone drzewo binarne. Oznacza to, że w każdym węźle drzewa można rozpatrywać poddrzewo po lewej lub po prawej stronie. Biorąc zbiór { T L , T R } {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}

wraz z kompozycją funkcji tworzy monoid, monoid dyadyczny.

i y {{displaystyle y}

w zbiorze Cantora C {{displaystyle {{mathcal {C}}}

, istnieje homeomorfizm h : C → C {displaystyle h:{mathcal {C}} do {mathcal {C}}}

z h ( x ) = y {displaystyle h(x)=y}.

. Jednoznaczna konstrukcja h {{displaystyle h}

można opisać prościej, jeśli zbiór Cantora potraktujemy jako przestrzeń iloczynową niepoliczalnie wielu kopii przestrzeni dyskretnej { 0 , 1 } {displaystyle h}.

. Wtedy mapa h : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } N { {displaystyle h:\{0,1\}^{mathb {N} } do \{0,1}^{mathbb {N} }}

zdefiniowane przez h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}}mod 2}

jest homeomorfizmem inwolutywnym wymieniającym x {{displaystyle x}

i y {{displaystyle y}

.

Prawo zachowaniaEdit

Znaleziono, że jakaś forma prawa zachowania jest zawsze odpowiedzialna za skalowanie i samopodobieństwo. W przypadku zbioru Cantora można zauważyć, że d f {displaystyle d_{f}}

th moment (gdzie d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {displaystyle d_{f}= ln(2)/ln(3)}

jest wymiarem fraktalnym) wszystkich ocalałych przedziałów na dowolnym etapie procesu konstrukcji jest równy stałej, która w przypadku zbioru Cantora jest równa jeden . Wiemy, że jest ich N = 2 n {\i0}.

przedziałów o rozmiarze 1 / 3 n {displaystyle 1/3^{n}}

obecnych w układzie w chwili n {displaystyle n}

tym kroku jego konstrukcji. Następnie, jeśli oznaczymy ocalałe przedziały jako x 1 , x 2 , … , x 2 n {displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{2^{{n}}}

to d f {displaystyle d_{f}}

tym momentem jest x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}.

ponieważ x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 n = 1 / 3 n {{displaystyle x_{1}=x_{2}}=x_{2^{n}}=1/3^{n}}

.

Wymiar Hausdorffa zbioru Cantora jest równy ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Własności topologiczne i analityczneEdit

Although „the” Cantor set typically refers to the original, middle-thirds Cantor described above, topologists often talk about „a” Cantor set, which means any topological space that is homeomorphic (topologically equivalent) to it.

As the above summation argument shows, the Cantor set is uncountable but has Lebesgue measure 0. Since the Cantor set is the complement of a union of open sets, it itself is a closed subset of the reals, and therefore a complete metric space. Ponieważ jest on również całkowicie ograniczony, twierdzenie Heinego-Borela mówi, że musi być zwarty.

Dla dowolnego punktu w zbiorze Cantora i dowolnie małego sąsiedztwa tego punktu istnieje jakaś inna liczba, której cyfra trójdzielna składa się tylko z 0 i 2, a także liczby, których cyfry trójdzielne zawierają 1. Stąd każdy punkt w zbiorze Cantora jest punktem akumulacji (zwanym też punktem skupienia lub punktem granicznym) zbioru Cantora, ale żaden nie jest punktem wewnętrznym. Zbiór zamknięty, w którym każdy punkt jest punktem akumulacji, nazywamy też w topologii zbiorem doskonałym, natomiast podzbiór zamknięty przedziału bez punktów wewnętrznych jest nigdzie nie zagęszczony w przedziale.

Każdy punkt zbioru Cantora jest też punktem akumulacji dopełnienia zbioru Cantora.

Dla dowolnych dwóch punktów zbioru Cantora będzie istniała pewna cyfra trójdzielna, w której będą się one różnić – jeden będzie miał 0, a drugi 2. Dzieląc zbiór Cantora na „połówki” w zależności od wartości tej cyfry, otrzymujemy podział zbioru Cantora na dwa zbiory domknięte, które rozdzielają dwa pierwotne punkty. W topologii względnej na zbiorze Cantora punkty zostały rozdzielone zbiorem domkniętym. W związku z tym zbiór Cantora jest całkowicie rozłączny. Jako zwarta, całkowicie rozłączna przestrzeń Hausdorffa, zbiór Cantora jest przykładem przestrzeni Stone’a.

Jako przestrzeń topologiczna, zbiór Cantora jest naturalnie homeomorficzny do iloczynu policzalnie wielu kopii przestrzeni { 0 , 1 } {{0 , 1 }

, gdzie każda kopia niesie topologię dyskretną. Jest to przestrzeń wszystkich ciągów dwucyfrowych 2 N = { ( x n ) ∣ x n ∈ { 0 , 1 } dla n ∈ N } { {displaystyle 2^{mathbb {N} }= {(x_{n})\mid x_{n} w \{0,1}}{text{ for }}n w \mathbb {N} \}}

,

który może być również utożsamiany ze zbiorem liczb całkowitych 2-adycznych. Podstawą zbiorów otwartych topologii iloczynowej są zbiory walcowe; homeomorfizm odwzorowuje je na topologię podprzestrzeni, którą zbiór Cantora dziedziczy po topologii naturalnej na linii liczb rzeczywistych. Ta charakterystyka przestrzeni Cantora jako iloczynu przestrzeni zwartych daje drugi dowód na to, że przestrzeń Cantora jest zwarta, poprzez twierdzenie Tychonoffa.

Z powyższej charakterystyki wynika, że zbiór Cantora jest homeomorficzny z liczbami całkowitymi p-adycznymi, a po usunięciu z niego jednego punktu – z liczbami p-adycznymi.

Zbiór Cantora jest podzbiorem przestrzeni rzeczywistych, które są przestrzenią metryczną względem zwykłej metryki odległości; zatem sam zbiór Cantora jest przestrzenią metryczną, przy użyciu tej samej metryki. Alternatywnie można użyć metryki p-adycznej na 2 N {{displaystyle 2^{mathbb {N} }}

: dane dwa ciągi ( x n ) , ( y n ) ∈ 2 N {displaystyle (x_{n}),(y_{n})\ w 2^{mathbb {N} }}

, odległość między nimi wynosi d ( ( x n ) , ( y n ) ) = 2 – k {displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}

, gdzie k {{displaystyle k}

jest najmniejszym indeksem takim, że x k ≠ y k {{displaystyle x_{k}}}

; jeśli nie ma takiego indeksu, to dwa ciągi są takie same i definiuje się odległość jako zero. Te dwie metryki generują tę samą topologię na zbiorze Cantora.

Widzieliśmy powyżej, że zbiór Cantora jest całkowicie rozłączną doskonałą zwartą przestrzenią metryczną. W rzeczy samej, w pewnym sensie jest on jedyny: każda niepusta całkowicie rozłączna doskonała zwarta przestrzeń metryczna jest homeomorficzna do zbioru Cantora. Zobacz przestrzeń Cantora, aby dowiedzieć się więcej o przestrzeniach homeomorficznych do zbioru Cantora.

Zbiór Cantora jest czasami uważany za „uniwersalny” w kategorii zwartych przestrzeni metrycznych, ponieważ każda zwarta przestrzeń metryczna jest ciągłym obrazem zbioru Cantora; jednak ta konstrukcja nie jest unikalna i dlatego zbiór Cantora nie jest uniwersalny w dokładnym kategorycznym sensie. Własność „uniwersalna” ma ważne zastosowania w analizie funkcjonalnej, gdzie jest czasami znana jako twierdzenie o reprezentacji dla zwartych przestrzeni metrycznych.

Dla dowolnej liczby całkowitej q ≥ 2, topologia na grupie G=Zqω (policzalna suma bezpośrednia) jest dyskretna. Chociaż dual Pontrjagina Γ jest również Zqω, topologia Γ jest zwarta. Widać, że Γ jest całkowicie rozłączna i doskonała – jest więc homeomorficzna do zbioru Cantora. Najłatwiej jest wypisać homeomorfizm wprost dla przypadku q=2. (Patrz Rudin 1962 s 40.)

Średnia geometryczna zbioru Cantora wynosi w przybliżeniu 0.274974.

Miara i prawdopodobieństwoEdit

Zbiór Cantora może być postrzegany jako zwarta grupa ciągów binarnych, i jako taki, jest obdarzony naturalną miarą Haara. Po znormalizowaniu tak, że miara zbioru wynosi 1, jest on modelem nieskończonego ciągu rzutów monetą. Ponadto można pokazać, że zwykła miara Lebesgue’a na przedziale jest obrazem miary Haara na zbiorze Cantora, a naturalna iniekcja do zbioru trójskładnikowego jest kanonicznym przykładem miary osobliwej. Można też pokazać, że miara Haara jest obrazem dowolnego prawdopodobieństwa, co czyni zbiór Cantora w pewnym sensie uniwersalną przestrzenią prawdopodobieństwa.

W teorii miary Lebesgue’a zbiór Cantora jest przykładem zbioru, który jest niepoliczalny i ma zerową miarę.

Liczby CantoraEdit

Jeśli zdefiniujemy liczbę Cantora jako członka zbioru Cantora, to

• (1) Każda liczba rzeczywista w jest sumą dwóch liczb Cantora.
• (2) Między dowolnymi dwiema liczbami Cantora istnieje liczba, która nie jest liczbą Cantora.

Deskryptywna teoria zbiorówEdit

Zbiór Cantora jest zbiorem miernym (lub zbiorem pierwszej kategorii) jako podzbiór (choć nie jako podzbiór samego siebie, gdyż jest przestrzenią Baire’a). Zbiór Cantora pokazuje więc, że pojęcia „wielkości” w kategoriach kardynalności, miary i kategorii (Baire’a) nie muszą być zbieżne. Podobnie jak w przypadku zbioru Q ∩ {displaystyle ∩ {mathbb {Q} \}

, zbiór Cantora C {{displaystyle {{mathcal {C}}} ∩ }

, która jest policzalna i ma „małą” kardynalność, ℵ 0 {displaystyle \aleph _{0}}

, kardynalność C {{displaystyle {{mathcal {C}}}

jest taka sama jak kontinuum c {displaystyle {mathfrak {c}}

i jest „duże” w sensie kardynalności. W rzeczywistości możliwe jest również skonstruowanie podzbioru, który jest mierny, ale o dodatniej miarze oraz podzbioru, który nie jest mierny, ale o miarze zero: Przyjmując policzalną unię „grubych” zbiorów Cantora C ( n ) {\i0}

o miarze λ = ( n – 1 ) / n {displaystyle {lambda =(n-1)/n}

(patrz poniżej konstrukcja zbioru Smitha-Volterra-Cantora), otrzymujemy zbiór A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) { {displaystyle {{mathcal {A}}:= {{bigcup _{n=1}^{infty }{{mathcal {C}}^{(n)}}

która ma dodatnią miarę (równą 1), ale jest mierna w , ponieważ każdy C ( n ) {{displaystyle {{mathcal {C}}^{(n)}}

jest nigdzie gęsty. Następnie rozważmy zbiór A c = ∖ ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {displaystyle {{mathcal {A}}^{mathrm {c} }=setminus {bigcup _{n=1}^{infty }{mathcal {C}}^{(n)}}

. Ponieważ A ∪ A c = {{displaystyle {{mathcal {A}}}^{mathrm {c}} }=}

, A c {{displaystyle {{mathcal {A}}^{mathrm {c} }}

nie może być skromny, ale ponieważ μ ( A ) = 1 {displaystyle {mathcal {A}} =1}

, A c {{displaystyle \mathcal {A}}^{mathrm {c} }}

musi mieć miarę zero.