Propriedades de Conjuntos Sob uma Operação
Os matemáticos estão frequentemente interessados em saber se certos conjuntos têm ou não propriedades particulares sob uma dada operação. Uma razão pela qual os matemáticos estavam interessados nisto era para que pudessem determinar quando as equações teriam soluções. Se um conjunto sob uma dada operação tem certas propriedades gerais, então podemos resolver equações lineares nesse conjunto, por exemplo.
Existem várias propriedades importantes que um conjunto pode ou não satisfazer sob uma determinada operação. Uma propriedade é uma certa regra que se mantém se for verdade para todos os elementos de um conjunto sob uma dada operação e uma propriedade não se mantém se houver pelo menos um par de elementos que não sigam a propriedade sob uma dada operação.
Falar sobre propriedades desta forma abstrata ainda não faz sentido, então vamos ver alguns exemplos de propriedades para que você possa entender melhor o que elas são. Nesta palestra, vamos aprender sobre a propriedade de fechamento.
A Propriedade de Fechamento
Um conjunto tem a propriedade de fechamento sob uma determinada operação se o resultado da operação for sempre um elemento do conjunto. Se um conjunto tem a propriedade de fechamento sob uma determinada operação, então dizemos que o conjunto está “fechado sob a operação”.
É muito mais fácil entender uma propriedade olhando para exemplos do que simplesmente falando sobre ela de uma forma abstrata, então vamos passar a olhar para exemplos para que você possa ver exatamente do que estamos falando quando dizemos que um set tem a propriedade de fechamento:
Primeiro vamos olhar para alguns conjuntos infinitos com operações que já nos são familiares:
a) O conjunto de inteiros é fechado sob a operação de adição porque a soma de quaisquer dois inteiros é sempre outro inteiro e está, portanto, no conjunto de inteiros.
b) O conjunto de números inteiros não é fechado sob a operação de divisão porque quando se divide um número inteiro por outro, nem sempre se obtém outro número inteiro como resposta. Por exemplo, 4 e 9 são ambos números inteiros, mas 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 não é um número inteiro, portanto não está no conjunto de números inteiros!
para ver mais exemplos de conjuntos infinitos que fazem e não satisfazem a propriedade de fechamento.
c) O conjunto de números racionais é fechado sob a operação de multiplicação, porque o produto de quaisquer dois números racionais será sempre outro número racional, e portanto estará no conjunto de números racionais. Isto porque a multiplicação de duas frações sempre lhe dará outra fração como resultado, pois o produto de duas frações a/b e c/d, lhe dará ac/bd como resultado. A única forma possível de ac/bd não poder ser uma fração é se bd for igual a 0. Mas se a/b e c/d são ambas frações, isso significa que nem b nem d é 0, então bd não pode ser 0.
d) O conjunto de números naturais não é fechado sob a operação de subtração porque quando você subtrai um número natural de outro, você nem sempre obtém outro número natural. Por exemplo, 5 e 16 são ambos números naturais, mas 5 – 16 = – 11. – 11 não é um número natural, portanto não está no conjunto de números naturais!
Agora vamos ver alguns exemplos de conjuntos finitos com operações que podem não nos ser familiares:
e) O conjunto {1,2,3,4} não está fechado sob a operação de adição porque 2 + 3 = 5, e 5 não é um elemento do conjunto {1,2,3,4}.
Vemos isto também olhando para a tabela de operações do conjunto {1,2,3,4} sob a operação de adição:
|
+ |
|||||
O set{1,2,3,4} não é fechado sob a operação + porque há pelo menos um resultado (todos os resultados são sombreados em laranja) que não é um elemento do conjunto {1,2,3,4}. O gráfico contém os resultados 5, 6, 7 e 8, nenhum dos quais é um elemento do conjunto {1,2,3,4}!
f) O conjunto {a,b,c,d,e} tem a seguinte tabela de operações para a operação *:
|
* |
a |
b |
c |
d |
e |
|
a |
b |
c |
e |
a |
d |
| b |
d |
a |
c |
b |
e |
|
c |
c |
d |
b |
e |
a |
| d |
a |
e |
d |
c |
b |
|
e |
e |
b |
a |
d |
c |
O set{a,b,c,d,e} é fechado sob a operação * porque todos os resultados (que estão sombreados em laranja) são elementos do conjunto {a,b,c,d,e}.
para ver outro exemplo.
g) O conjunto {a,b,c,d,e} tem a seguinte tabela de operações para a operação $:
|
a |
b |
c |
d |
e |
|
| a |
b |
f |
e |
a |
h |
| b |
d |
a |
c |
h |
e |
|
c |
c |
d |
b |
g |
a |
| d |
g |
e |
d |
c |
b |
|
e |
e |
b |
h |
d |
c |
O conjunto{a,b,c,d,e} não é fechado sob a operação $ porque há pelo menos um resultado (todos os resultados são sombreados em laranja) que não é um elemento do conjunto {a,b,c,d,e}. Por exemplo, de acordo com o gráfico, a$b=f. Mas f não é um elemento do conjunto {a,b,c,d,e}!