Com o advento do rock and roll, Norman adquiriu a sua primeira guitarra aos sete anos de idade. Suas primeiras influências musicais foram Elvis Presley, Little Richard e Lonnie Donegan.
Nestes primeiros anos, os pais de Norman se mudaram muito pelo país, o que resultou em ele freqüentar nove escolas diferentes, e viver em vários locais da Inglaterra, como Redcar, Luton, Kimpton e Nottingham. Em 1962, porém, a família havia se mudado de volta para a cidade natal da mãe de Norman, Bradford. Aproximando-se do seu décimo segundo aniversário, Norman começou na St. Bede’s Grammar School, onde iria conhecer Alan Silson e Terry Uttley, futuros membros do Smokie.
Como adolescentes, influenciados pela nova era de grupos como The Beatles e The Rolling Stones e depois o cantor popular Bob Dylan, Norman e Silson começaram a se encontrar e passaram quase todo o seu tempo livre aprendendo novas músicas em suas guitarras. Eles conseguiram convencer Uttley a se juntar a eles e, junto com um amigo baterista chamado Ron Kelly, eles formaram sua primeira banda. The Yen, Essence e Long Side Down eram apenas alguns dos vários nomes que eles se chamavam antes de se estabelecerem em “The Elizabethans”. Quando Ron Kelly deixou o grupo em 1973, um velho amigo chamado Pete Spencer foi convidado para assumir a bateria, e o grupo, que se tornaria Smokie, estava completo.
Entre 1974 e o início dos anos 80, Smokie desfrutou de sucesso em turnês por todo o mundo, mas a tensão e a pressão de estar constantemente longe de casa e da família estava começando a contar sobre Norman. No início dos anos 80, ele decidiu passar mais tempo a escrever e a trabalhar no estúdio. Norman e Spencer agora trabalhavam juntos em músicas para outros artistas, incluindo sucessos para Kevin Keegan (“Head Over Heels in Love”, um sucesso nº 31 do Reino Unido), e a música “This Time (We’ll Get It Right)” do time de futebol inglês. Ele também trabalhou com Agnetha Fältskog (em seu álbum solo), Racey (co-escritor de “Baby It’s You”), Donovan (backing vocals em Donovan), e Heavy Metal Kids.
Em 1978, Norman gravou um dueto com Suzi Quatro, “Stumblin’ In”, que fez No. 4 no Hot 100 da US Billboard e vendeu mais de um milhão de cópias.
A carreira solo de Norman decolou em 1986 com a música “Midnight Lady”, que foi um sucesso em toda a Europa segurando o primeiro lugar na Alemanha por seis semanas (onde vendeu 900.000 cópias). Sucesso seguido pelas canções “Some Hearts Are Diamonds”, “No Arms Can Ever Hold You”, “Broken Heroes”, “Fearless Hearts”, “Sarah” e “Baby I Miss You”. Em 1994, Norman foi homenageado pela CMT Europa como a “Estrela de Vídeo Internacional do Ano”.
Em 2004, ele participou do Comeback Show na estação de TV alemã ProSieben e interpretou “Stumblin’ In” como um dueto com C. C. C. Catch. No episódio final do programa, ele foi acompanhado por Smokie para a música final.
Em 2 de junho de 2007, Norman se apresentou no Peel Bay Festival, Isle of Man.