CardinalityEdit
É possível mostrar que há tantos pontos deixados para trás neste processo como havia para começar, e que, portanto, o conjunto Cantor é incontável. Para ver isto, mostramos que existe uma função f do conjunto Cantor C {\\i1}displaystyle {\i}mathcal {\i}}
ao intervalo fechado que é sobrejectivo (ou seja, f maps from C {\i1}displaystyle {\i}mathcal {\i}}
é nada menos que o de . Uma vez que C {\i1}displaystyle {\i}mathcal {\i}
é um subconjunto de , sua cardinalidade também não é maior, portanto as duas cardinalidades devem ser de fato iguais, pelo teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.
Para construir esta função, considere os pontos do intervalo em termos de notação de base 3 (ou ternária). Recorde que as próprias frações ternárias, mais precisamente: os elementos de ( Z ∖ { 0 } ) ⋅ 3 – N 0 {\i1}displaystyle {\i1}bigl ({\i1}mathbb {\i}smallsetminus {0}bigr}cdot 3^{\i}mathbb {N} _{0}}}
, admite mais de uma representação nesta notação, como por exemplo 1/3, que pode ser escrita como 0,13 = 0,103, mas também como 0,0222…3 = 0,023, e 2/3, que pode ser escrita como 0,23 = 0.203 mas também como 0,1222…3 = 0,123.Quando removemos o terço médio, este contém os números com numerais ternários da forma 0,1xxxxx…3 onde xxxxx…3 está estritamente entre 00000…3 e 22222…3. Então os números restantes após o primeiro passo consistem em
- Números do formulário 0.0xxxxx…3 (incluindo 0.022222…3 = 1/3)
- Números do formulário 0.2xxxxx…3 (incluindo 0.222222…3 = 1)
Isso pode ser resumido dizendo que aqueles números com uma representação ternária tal que o primeiro dígito após o ponto do radix não é 1 são os que restam após o primeiro passo.
O segundo passo remove números do formulário 0.01xxxx…3 e 0.21xxxx…3, e (com o devido cuidado com os pontos finais) pode-se concluir que os números restantes são aqueles com um número ternário onde nenhum dos dois primeiros dígitos é 1.
Continuando desta forma, para que um número não seja excluído no passo n, ele deve ter uma representação ternária cujo nº dígito não seja 1. Para que um número esteja no conjunto Cantor, ele não deve ser excluído em nenhum passo, ele deve admitir uma representação numérica composta inteiramente de 0s e 2s.
Vale ressaltar que números como 1, 1/3 = 0,13 e 7/9 = 0,213 estão no conjunto Cantor, pois eles têm numerais ternários compostos inteiramente de 0s e 2s: 1 = 0,222…3 = 0,23, 1/3 = 0,0222…3 = 0,023 e 7/9 = 0,20222…3 = 0,2023.Todos estes últimos números são “pontos finais”, e estes exemplos são pontos limites certos de C {\i1}mathcal {\i}}
. O mesmo é válido para os pontos de limite à esquerda do C {\i1}mathcal {\i}}{C}}
, por exemplo 2/3 = 0,1222…3 = 0,123 = 0,203 e 8/9 = 0,21222…3 = 0,2123 = 0,2203. Todos estes pontos finais são frações ternárias adequadas (elementos de Z ⋅ 3 – N 0 {\i1}displaystyle {\i}mathbb {Z} \cdot 3^{-mathbb {N} _{0}}}
) do formulário p/q, onde o denominador q é uma potência de 3 quando a fração está em sua forma irredutível. A representação ternária destas frações termina (ou seja, é finita) ou – lembre-se de cima que as próprias frações ternárias têm 2 representações cada uma – é infinita e “termina” ou em infinitos 0s recorrentes ou infinitos 2s recorrentes. Tal fração é um ponto limite esquerdo de C {{\i1}displaystyle {\i}{\i1}mathcal
se novamente a sua expansão ternária não contém 1’s e “fins” em infinitos 2s recorrentes.
> Este conjunto de endpoints é denso em C {\i1}displaystyle {\i}mathcal {\i}}
que não são endpoints também têm apenas 0s e 2s na sua representação ternária, mas não podem terminar numa repetição infinita do dígito 0, nem do dígito 2, porque então seria um endpoint.
A função do C {\i1}displaystyle {\i}mathcal {\i}}
é definido tomando os números ternários que consistem inteiramente de 0s e 2s, substituindo todos os 2s por 1s, e interpretando a sequência como uma representação binária de um número real. Em uma fórmula, f ( ∑ k ∈ N a k 3 – k ) = ∑ k ∈ N a k 2 2 – k {\i1}displaystyle f{\i}bigg (}sum _{k}in {\i}mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\i} {\i}=sum _{k}in {\i}mathbb {N} 2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2
onde ∀ k ∈ N : a k ∈ { 0 , 2 } . …ao estilo do jogo, em todos os kmathbb :a_k :in
Para qualquer número y em , a sua representação binária pode ser traduzida para uma representação ternária de um número x em C {0,2}mathcal {C}
substituindo todos os 1s por 2s. Com isto, f(x) = y para que y esteja no intervalo de f. Por exemplo, se y = 3⁄5 = 0,100110011001…2 = 0,1001, escrevemos x = 0,2002 = 0,200220022002…3 = 7⁄10. Conseqüentemente, f é sobrejectivo. Entretanto, f não é injectivo – os valores para os quais f(x) coincide são aqueles em extremos opostos de um dos terços médios removidos. Por exemplo, veja 1⁄3 = 0,023 (que é um ponto limite direito de C {\displaystyle {\mathcal {\C}}}}.
e um ponto limite à esquerda do terço médio ) e 2⁄3 = 0,203 (que é um ponto limite à esquerda do C {\i}mathcal {\i}}
e um ponto limite direito do terço médio )
so
f ( 1 / 3 ) = f ( 0.0 2 ¯ 3 ) = 0.0 1 ¯ 2 = 0.1 2 = 0.1 0 ¯ 2 = f ( 0.2 0 ¯ 3 ) = f ( 2 / 3 ) . ∥ 1 / 2 {\\i1}{\i1}{\i1}f{\i1}{\i1}!{\i}!{\i}{\i1}(3}{\i1}bigr ){\i}=f(0.0{\i}(3})=0.0{\i}(1}_{2}=!{\i} &\i}!{\i}!0.1_{2}!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}
>
Pois há tantos pontos no conjunto do Cantor como no intervalo (que tem a incontável cardinalidade c = 2 ℵ 0 {\i1}displaystyle {c}=2^{\i1}aleph _{0}}}
). Entretanto, o conjunto de pontos finais dos intervalos removidos é contabilizável, portanto deve haver incontáveis números no conjunto Cantor que não são pontos finais de intervalo. Como observado acima, um exemplo de tal número é 1⁄4, que pode ser escrito como 0,020202…3 = 0,02 em notação ternária. Na verdade, dado qualquer um ∈ no estilo de um jogo.
, existe x , y ∈ C {\i1}displaystyle x,y{\i}in {\i1}mathcal
tal que a = y – x {\an8}displaystyle a=y-x
. Isto foi demonstrado pela primeira vez por Steinhaus em 1917, que provou, através de um argumento geométrico, a afirmação equivalente que { ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a } ∩ ( C × C ) ≠ ∅ ∅ ∅
. Uma vez que esta construção fornece uma injecção de {\i1}displaystyle {\i}
a C × C {\i1}displaystyle {\i}mathcal {\i} times
para qualquer conjunto infinito A {\a10}{\a10}
(uma afirmação que se mostra ser equivalente ao axioma de escolha de Tarski), isto fornece outra demonstração que | C | = c {\displaystyle |{\mathcal |={\mathfrak {\c}}}
.
O conjunto Cantor contém tantos pontos quanto o intervalo do qual é tirado, mas ele mesmo não contém nenhum intervalo de comprimento diferente de zero. Os números irracionais têm a mesma propriedade, mas o conjunto Cantor tem a propriedade adicional de ser fechado, portanto não é sequer denso em qualquer intervalo, ao contrário dos números irracionais que são densos em cada intervalo.
Tem sido conjecturado que todos os números irracionais algébricos são normais. Como os membros do conjunto Cantor não são normais, isto implicaria que todos os membros do conjunto Cantor ou são racionais ou transcendentais.
Auto-similaridadeEditar
O conjunto Cantor é o protótipo de um fractal. É auto-similar, porque é igual a duas cópias de si mesmo, se cada cópia for encolhida por um fator de 3 e traduzida. Mais precisamente, o conjunto Cantor é igual à união de duas funções, as transformações de auto-similaridade esquerda e direita de si mesmo, T L ( x ) = x / 3 {\displaystyle T_{L}(x)=x/3}
e T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}
, que deixam o conjunto do Cantor invariável até ao homeomorfismo: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C = T L ( C ) ∪ T R ( C ) . T_{\i1}(L}(c ) T_{\i}(c ) T_{\i}(c ) T_{\i}(c ) T_{\i}(c ) T_{\i}(d ) T_{\i}(L}(c ) T_{\i}(c ) T r ( )
Repetição da iteração de T L T_{L}
e T R {\i1}displaystyle T_{R}}
pode ser visualizada como uma árvore binária infinita. Ou seja, em cada nó da árvore, pode-se considerar a sub-árvore para a esquerda ou para a direita. Tomando o conjunto { T L , T R } {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}
juntamente com a composição da função forma um monóide, o monóide diádico.
Os automorfismos da árvore binária são suas rotações hiperbólicas, e são dados pelo grupo modular. Assim, o conjunto Cantor é um espaço homogêneo no sentido de que para quaisquer dois pontos x {\\i1}
e y {\i}
no conjunto Cantor C {\an1}displaystyle {\an1}mathcal
, existe um homeomorfismo h : C → C {\an8}displaystyle h:{\an8}mathcal {\an8}
com h ( x ) = y {\an1}displaystyle h(x)=y}
. Uma construção explícita de h {\i1}displaystyle h}
pode ser descrito mais facilmente se virmos o conjunto Cantor como um espaço de produto de inúmeras cópias do espaço discreto { 0 , 1 } {0,1}
. Depois o mapa h : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } N estilo de jogo h:0,1mathbb para o “Mathbb”… }}
definido por h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {\i1}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}mod 2}
> é um homeomorfismo involutivo que troca x {\i1}displaystyle x}
e y {\i1}displaystyle y
.
Lei de conservaçãoEditar
Foi descoberto que alguma forma de lei de conservação é sempre responsável por trás da escalada e da auto-similaridade. No caso do conjunto Cantor pode ser visto que o d f {\f}} d_{f}}
ésimo momento (onde d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {\displaystyle d_{f}=\ln(2)/ln(3)}
é a dimensão fractal) de todos os intervalos de sobrevivência em qualquer fase do processo de construção é igual a constante que é igual a uma no caso do conjunto Cantor . Sabemos que existem N = 2 n {\\i1} {\i1} {\i1} {\i1} {\i1}n
intervalos de tamanho 1 / 3 n {\i1}displaystyle 1/3^{n}}
presente no sistema no n {\i1}displaystyle n
o passo da sua construção. Então se rotularmos o intervalo de sobrevivênciasas x 1 , x 2 , … , x 2 n {\i1},x_{2},{\i}ldots ,x_{2^{n}}}
depois o d f {\i}displaystyle d_{f}}
o momento é x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {\i1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+\i1}+cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}=1}
desde x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 n = 1 / 3 n {\i1}=x_{2}=\i1}{2}=\i1}cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}}
.
A dimensão Hausdorff do conjunto Cantor é igual a ln(2)/ln(3) ≈ 0.631.
Propriedades topológicas e analíticasEditar
Embora “o” conjunto Cantor se refira tipicamente ao Cantor original, de terços médios descrito acima, os topólogos falam frequentemente de “um” conjunto Cantor, o que significa qualquer espaço topológico que seja homeomórfico (topologicamente equivalente) a ele.
Como o argumento da soma acima mostra, o conjunto Cantor é incontável mas tem a medida Lebesgue 0. Como o conjunto Cantor é o complemento de uma união de conjuntos abertos, ele mesmo é um subconjunto fechado dos reais, e portanto um espaço métrico completo. Como também é totalmente limitado, o teorema de Heine-Borel diz que ele deve ser compacto.
Para qualquer ponto do conjunto Cantor e qualquer bairro arbitrariamente pequeno do ponto, há algum outro número com um número ternário de apenas 0s e 2s, assim como números cujos números ternários contêm 1s. Portanto, cada ponto do conjunto Cantor é um ponto de acumulação (também chamado ponto de agrupamento ou ponto limite) do conjunto Cantor, mas nenhum é um ponto interior. Um conjunto fechado em que cada ponto é um ponto de acumulação é também chamado de conjunto perfeito em topologia, enquanto um subconjunto fechado do intervalo sem pontos interiores não é denso em nenhum lugar do intervalo.
Cada ponto do conjunto Cantor é também um ponto de acumulação do complemento do conjunto Cantor.
Para quaisquer dois pontos do conjunto Cantor, haverá algum dígito ternário onde eles diferem – um terá 0 e o outro 2. Ao dividir o conjunto Cantor em “metades” dependendo do valor deste dígito, obtém-se uma partição do conjunto Cantor em dois conjuntos fechados que separam os dois pontos originais. Na topologia relativa do conjunto Cantor, os pontos foram separados por um conjunto fechado. Consequentemente, o conjunto do Cantor está totalmente desconectado. Como um compacto espaço Hausdorff totalmente desconectado, o conjunto Cantor é um exemplo de um espaço Stone.
Como um espaço topológico, o conjunto Cantor é naturalmente homeomórfico ao produto de inúmeras cópias do espaço { 0 , 1 } {0,1} {0,1}
, onde cada cópia traz a topologia discreta. Este é o espaço de todas as sequências em dois dígitos 2 N = { ( x n ) ∣ x n ∈ { 0 , 1 } para n ∈ N } estilo de jogo 2 ^mathbb {N} em “mid xn” em “0,1” texto em “mathbb” em “N \}}
,
que também pode ser identificado com o conjunto de 2 números inteiros adictos. A base para os conjuntos abertos da topologia do produto são conjuntos de cilindros; o homeomorfismo os mapeia para a topologia subespacial que o conjunto Cantor herda da topologia natural na linha do número real. Esta caracterização do espaço Cantor como produto de espaços compactos dá uma segunda prova de que o espaço Cantor é compacto, através do teorema de Tychonoff.
Da caracterização acima, o conjunto Cantor é homeomórfico para os inteiros p-ádicos, e, se um ponto for removido dele, para os números p-ádicos.
O conjunto Cantor é um subconjunto dos reais, que são um espaço métrico em relação à métrica de distância normal; portanto o conjunto Cantor é um espaço métrico, utilizando essa mesma métrica. Alternativamente, pode-se usar a métrica p-adic em 2 N ^{\mathbb {\i} }}
: dadas duas sequências ( x n ) , ( y n ) ∈ 2 N {\displaystyle (x_{n}),(y_{n})}in 2^{\mathbb {N} }}
, a distância entre eles é d ( ( ( x n ) , ( y n ) ) = 2 – k {\i1}displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}
, onde k {\i}displaystyle k}
é o menor índice tal que x k ≠ y k {\i1}displaystyle x_{k}}neq y_{k}
; se não existir tal índice, então as duas sequências são as mesmas, e uma define a distância a ser zero. Estas duas métricas geram a mesma topologia no conjunto do Cantor.
Vimos acima que o conjunto do Cantor é um espaço métrico compacto totalmente desconectado e perfeito. De facto, de certa forma é o único: todo o espaço métrico compacto não vazio totalmente desconectado é homeomórfico para o conjunto Cantor. Veja espaço Cantor para mais sobre espaços homeomórficos para o conjunto Cantor.
O conjunto Cantor é por vezes considerado “universal” na categoria de espaços métricos compactos, uma vez que qualquer espaço métrico compacto é uma imagem contínua do conjunto Cantor; contudo esta construção não é única e por isso o conjunto Cantor não é universal no sentido categórico preciso. A propriedade “universal” tem aplicações importantes na análise funcional, onde é por vezes conhecida como o teorema da representação de espaços métricos compactos.
Para qualquer número inteiro q ≥ 2, a topologia do grupo G=Zqω (a soma contabilística directa) é discreta. Embora a dupla Pontrjagin Γ seja também Zqω, a topologia de Γ é compacta. Pode-se ver que Γ é totalmente desconectado e perfeito – assim é homeomórfico ao conjunto do Cantor. É mais fácil escrever o homeomorfismo explicitamente no caso q=2. (Ver Rudin 1962 p 40.)
A média geométrica do conjunto Cantor é aproximadamente 0,274974.
Medida e probabilidadeEditar
O conjunto Cantor pode ser visto como o grupo compacto de sequências binárias, e como tal, é dotado de uma medida Haar natural. Quando normalizado para que a medida do conjunto seja 1, é um modelo de uma sequência infinita de lançamentos de moedas. Além disso, pode-se mostrar que a usual medida de Lebesgue no intervalo é uma imagem da medida de Haar no conjunto Cantor, enquanto a injeção natural no conjunto ternário é um exemplo canônico de uma medida singular. Também pode ser mostrado que a medida de Haar é uma imagem de qualquer probabilidade, fazendo do conjunto Cantor um espaço de probabilidade universal de algumas maneiras.
Na teoria da medida de Lebesgue, o conjunto Cantor é um exemplo de um conjunto que é incontável e tem medida zero.
Números de CantorEditar
Se definirmos um número de Cantor como membro do conjunto Cantor, então
- (1) Cada número real dentro é a soma de dois números de Cantor.
- (2) Entre quaisquer dois números de Cantor existe um número que não é um número de Cantor.
Teoria descritiva do conjuntoEditar
O conjunto Cantor é um parco conjunto (ou um conjunto de primeira categoria) como um subconjunto de (embora não como um subconjunto de si mesmo, uma vez que é um espaço Baire). O conjunto Cantor demonstra assim que noções de “tamanho” em termos de cardinalidade, medida, e categoria (Baire) não precisam coincidir. Como o conjunto Q ∩ {\i1}displaystyle {\i}mathbb {\i} \tampa…}
, o conjunto Cantor C
é “pequeno” no sentido de que é um conjunto nulo (um conjunto de medida zero) e é um subconjunto escasso de . No entanto, ao contrário do Q ∩ {\i}displaystyle {\i}mathbb {\i} \tampa…}
, que é contabilizável e tem uma “pequena” cardinalidade, ℵ 0
é o mesmo que o do , o continuum c {\i1}displaystyle {\i}mathfrak {\i}}
, e é “grande” no sentido da cardinalidade. Na verdade, também é possível construir um subconjunto de que é parco mas de medida positiva e um subconjunto que não é parco mas de medida zero: Ao tomar a união contável de Cantor “gordo”, os conjuntos C ( n ) {\i1}^{(n)}
da medida λ = ( n – 1 ) / n {\i1}displaystyle {\i}lambda =(n-1)/n}
(ver Smith-Volterra-Cantor set abaixo para a construção), obtemos um set A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\i1}{\i1}:===bigcup _{\i=1}^{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}}
que tem uma medida positiva (igual a 1) mas é escassa em , uma vez que cada C ( n ) estilo de jogo {\an8}^{\an8}^{(n)}{\an8}
{\an8}^{\an8}displaystyle {\an8}mathcal {\an8}^{\an8}mathrm . }=}
, A c {\i1}{\i1}{\i1}mathcal {\i}^{\i1}mathrm }}
, A c {\i1}\i1}mathrm (A) estilo de jogo {\i}^{\i1}mathrm }}
deve ter medida zero.