Em matemática, os contra-exemplos são frequentemente usados para provar os limites de possíveis teoremas. Usando contra-exemplos para mostrar que certas conjecturas são falsas, os pesquisadores matemáticos podem então evitar descer becos sem saída e aprender a modificar conjecturas para produzir teoremas prováveis. Diz-se às vezes que o desenvolvimento matemático consiste principalmente em encontrar (e provar) teoremas e contra-exemplos.
Exemplo de retânguloEditar
Suponha que uma matemática está estudando geometria e formas, e ela deseja provar certos teoremas sobre elas. Ela afirma que “Todos os rectângulos são quadrados”, e está interessada em saber se esta afirmação é verdadeira ou falsa.
Neste caso, ela pode ou tentar provar a verdade da afirmação usando raciocínio dedutivo, ou pode tentar encontrar um contra-exemplo da afirmação se ela suspeitar que é falsa. Neste último caso, um contra-exemplo seria um retângulo que não é um quadrado, como um retângulo com dois lados de comprimento 5 e dois lados de comprimento 7. No entanto, apesar de ter encontrado retângulos que não eram quadrados, todos os retângulos que ela encontrou tinham quatro lados. Ela faz então a nova conjectura “Todos os rectângulos têm quatro lados”. Isto é logicamente mais fraco que sua conjectura original, já que cada quadrado tem quatro lados, mas nem todos os quatro lados são quadrados.
O exemplo acima explicou – de forma simplificada – como uma matemática pode enfraquecer sua conjectura diante de contra-exemplos, mas contra-exemplos também podem ser usados para demonstrar a necessidade de certas suposições e hipóteses. Por exemplo, suponha que depois de um tempo, a matemática acima se estabeleceu na nova conjectura “Todas as formas que são retângulos e têm quatro lados de igual comprimento são quadrados”. Esta conjectura tem duas partes para a hipótese: a forma deve ser ‘um retângulo’ e deve ter ‘quatro lados de igual comprimento’. A matemática então gostaria de saber se ela pode remover qualquer uma das suposições e ainda manter a verdade de sua conjectura. Isto significa que ela precisa verificar a verdade das duas afirmações seguintes:
- “Todas as formas que são retângulos são quadrados”
- “Todas as formas que têm quatro lados de comprimento igual são quadrados”.
Um contra-exemplo para (1) já foi dado acima, e um contra-exemplo para (2) é um losango não quadrado. Assim, o matemático agora sabe que ambas as suposições eram de fato necessárias.
Outros exemplos matemáticosEditar
Um contra-exemplo à afirmação “todos os números primos são números ímpares” é o número 2, pois é um número primo mas não é um número ímpar. Nenhum dos números 7 ou 10 é um contra-exemplo, pois nenhum deles é suficiente para contradizer a afirmação. Neste exemplo, 2 é, na verdade, o único contra-exemplo possível para a expressão, mesmo que só isso seja suficiente para contradizer a expressão. De maneira semelhante, a expressão “Todos os números naturais ou são primos ou compostos” tem o número 1 como contra-exemplo, já que 1 não é primo nem composto.
A soma de poderes da conjectura de Euler foi refutada por contra-exemplo. Afirmou que pelo menos nth potências eram necessárias para somar a outra nth potência. Esta conjectura foi refutada em 1966, com um contra-exemplo envolvendo n = 5; outros n = 5 contra-exemplos são agora conhecidos, assim como alguns n = 4 contra-exemplos.
O contra-exemplo de Witsenhausen mostra que nem sempre é verdade (para problemas de controle) que uma função de perda quadrática e uma equação linear de evolução da variável de estado implicam em leis de controle ideais que são lineares.
Outros exemplos incluem as provas da conjectura de Seifert, a conjectura de Pólya, a conjectura do 14º problema de Hilbert, a conjectura de Tait, e a conjectura de Ganea.