Deconvolução

SismologiaEditar

O conceito de deconvolução teve uma aplicação precoce em sismologia de reflexão. Em 1950, Enders Robinson era um aluno de pós-graduação no MIT. Ele trabalhou com outros no MIT, como Norbert Wiener, Norman Levinson, e o economista Paul Samuelson, para desenvolver o “modelo convolucional” de um sismograma de reflexão. Este modelo assume que o sismograma s(t) registrado é a convolução de uma função e(t) de reflexão da Terra e de uma onda sísmica w(t) de uma fonte pontual, onde t representa o tempo de registro. Assim, a nossa equação de convolução é

s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {\displaystyle s(t)=(e*w)(t).\,}

O sismólogo está interessado em e, que contém informações sobre a estrutura da Terra. Pelo teorema da convolução, esta equação pode ser transformada por Fourier em

S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) {\i1}S(\iega )=E(\iega )W(\iega )W(\iega ) \i},

no domínio da frequência, onde ω {\i}

é a variável frequência. Assumindo que a reflectividade é branca, podemos assumir que o espectro de potência da reflectividade é constante, e que o espectro de potência do sismograma é o espectro da onda multiplicada por essa constante. Assim, | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . |S(\omega)|approx k|W(\omega)|,|

Se assumirmos que a onda é fase mínima, podemos recuperá-la calculando o equivalente mínimo de fase do espectro de potência que acabamos de encontrar. A reflectividade pode ser recuperada desenhando e aplicando um filtro Wiener que molda a wavelet estimada a uma função delta Dirac (ou seja, um pico). O resultado pode ser visto como uma série de funções delta em escala e deslocadas (embora isto não seja matematicamente rigoroso):

e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {\i1}displaystyle e(t)==sum _{i=1}^{N}r_{i}delta (t-tau _{i}),

onde N é o número de eventos de reflexão, r i {\i}displaystyle r_{i}}

são os coeficientes de reflexão, t – τ i {\i}displaystyle t-tau _{i}}

são os tempos de reflexão de cada evento, e δ {\i}displaystyle {\i}delta

é a função delta de Dirac.

Na prática, já que estamos lidando com conjuntos de dados ruidosos, de largura de banda finita, de comprimento finito, discretamente amostrados, o procedimento acima só produz uma aproximação do filtro necessário para desconvolver os dados. No entanto, ao formular o problema como solução de uma matriz de Toeplitz e usando a recorrência de Levinson, podemos estimar com relativa rapidez um filtro com o menor erro médio ao quadrado possível. Também podemos fazer a desconvolução diretamente no domínio da freqüência e obter resultados semelhantes. A técnica está intimamente relacionada à previsão linear.

Optics and other imagingEdit

Exemplo de uma imagem de microscópio desconcentrado.

Em óptica e imagem, o termo “deconvolução” é usado especificamente para se referir ao processo de inversão da distorção óptica que ocorre em um microscópio óptico, microscópio eletrônico, telescópio ou outro instrumento de imagem, criando assim imagens mais claras. Normalmente é feito no domínio digital por um algoritmo de software, como parte de um conjunto de técnicas de processamento de imagens de microscópio. A deconvolução também é prática para aguçar imagens que sofrem de movimentos rápidos ou de abanões durante a captura. As imagens do Early Hubble Space Telescope foram distorcidas por um espelho com falhas e foram aguçadas pela deconvolução.

O método usual é assumir que o caminho óptico através do instrumento é opticamente perfeito, envolvido por uma função de espalhamento de pontos (PSF), ou seja, uma função matemática que descreve a distorção em termos do caminho que uma fonte teórica de luz pontual (ou outras ondas) percorre através do instrumento. Normalmente, tal fonte pontual contribui com uma pequena área de indefinição para a imagem final. Se esta função pode ser determinada, é então uma questão de calcular a sua função inversa ou complementar, e de girar a imagem adquirida com isso. O resultado é a imagem original, não distorcida.

Na prática, é impossível encontrar a PSF verdadeira, e normalmente é usada uma aproximação da mesma, calculada teoricamente ou baseada em alguma estimativa experimental, usando sondas conhecidas. A óptica real também pode ter diferentes FPS em diferentes locais focais e espaciais, e a FPS pode ser não-linear. A precisão da aproximação da FSP ditará o resultado final. Diferentes algoritmos podem ser empregados para dar melhores resultados, ao preço de serem mais intensivos em termos computacionais. Como a convolução original descarta os dados, alguns algoritmos utilizam dados adicionais adquiridos em pontos focais próximos para compor algumas das informações perdidas. A regularização em algoritmos iterativos (como nos algoritmos de expectativa-maximização) pode ser aplicada para evitar soluções irreais.

Quando a FSP é desconhecida, pode ser possível deduzi-la tentando sistematicamente diferentes FSPs possíveis e avaliando se a imagem melhorou. Este procedimento é chamado de deconvolução cega. A deconvolução cega é uma técnica bem estabelecida de restauração de imagens em astronomia, onde a natureza pontual dos objetos fotografados expõe a PSF, tornando-a assim mais viável. É também usada em microscopia de fluorescência para restauração de imagens, e em imagens espectrais de fluorescência para separação espectral de múltiplos fluoróforos desconhecidos. O algoritmo iterativo mais comum para a finalidade é o algoritmo de deconvolução Richardson-Lucy; a deconvolução Wiener (e aproximações) são os algoritmos não-iterativos mais comuns.

A imagem THz de alta resolução é obtida pela deconvolução da imagem THz e a PSF THz modelada matematicamente. (a) Imagem THz de um circuito integrado (IC) antes do melhoramento; (b) PSF THz matematicamente modelada; (c) Imagem THz de alta resolução que é alcançada como resultado da deconvolução da imagem THz mostrada em (a) e da PSF que é mostrada em (b); (d) Imagem X de alta resolução que confirma a precisão dos valores medidos.

Para alguns sistemas de imagem específicos, como os sistemas terahertz pulsados a laser, a FSP pode ser modelada matematicamente. Como resultado, como mostrado na figura, a deconvolução da PSF modelada e da imagem terahertz pode dar uma representação de maior resolução da imagem terahertz.

Radio astronomyEdit

Ao realizar a síntese da imagem em radio interferometria, um tipo específico de radioastronomia, um passo consiste em deconvolver a imagem produzida com o “feixe sujo”, que é um nome diferente para a função de propagação de pontos. Um método comumente utilizado é o algoritmo CLEAN.

Espectra de absorçãoEditar

Deconvolução tem sido aplicada extensivamente aos espectros de absorção. O algoritmo Van Cittert (artigo em alemão) pode ser usado.

Aspectos da transformação de FourierEdit

Mapas de segundavolução para divisão no co-domínio de Fourier. Isto permite que a deconvolução seja facilmente aplicada com dados experimentais que estão sujeitos a uma transformada de Fourier. Um exemplo é a espectroscopia NMR onde os dados são registrados no domínio do tempo, mas analisados no domínio da freqüência. A divisão dos dados do domínio do tempo por uma função exponencial tem o efeito de reduzir a largura das linhas Lorenzian no domínio da frequência.