Operadores lineares, isomorfismosEditar
Se X e Y são espaços normalizados sobre o mesmo campo terrestre K, o conjunto de todos os mapas contínuos K-lineares T : X → Y é denotado por B(X, Y). Em espaços de dimensões infinitas, nem todos os mapas lineares são contínuos. Um mapeamento linear de um espaço normalizado X para outro espaço normalizado é contínuo se e só se for delimitado na esfera de unidade fechada de X. Assim, o espaço vectorial B(X, Y) pode ser indicado pelo operador norma
‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∈ X , ‖ x ‖ X ≤ 1 } . TX Estilo de exibição TX Esquerda TX Meio X em X,X,X X Direita 1.
Se X é um espaço Banach, o espaço B(X) = B(X, X) forma uma álgebra Banach unital; a operação de multiplicação é dada pela composição de mapas lineares.
Se X e Y são espaços normalizados, são espaços normalizados isomórficos se existe uma bijecção linear T : X → Y tal que T e o seu inverso T -1 são contínuos. Se um dos dois espaços X ou Y é completo (ou reflexivo, separável, etc.) então o outro também o é. Dois espaços normalizados X e Y são isomórficos isométricos se, além disso, T for uma isometria, ou seja ||A distância Banach-Mazur d(X, Y) entre dois espaços isomórficos mas não isométricos X e Y dá uma medida de quanto os dois espaços X e Y diferem.
Noções básicasEditar
O produto cartesiano X × Y de dois espaços normalizados não está canonicamente equipado com uma norma. No entanto, várias normas equivalentes são comumente utilizadas, tais como
‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {\i1}{\i1}(x,y)|_{\i}x||+\i},{\i}qquad {\i}(x,y)|_{\i1}(x,y){\i}}máx(x,y){\i}(x,y){\i} Neste sentido, o produto X × Y (ou a soma directa X ⊕ Y) está completo se e só se os dois factores estiverem completos.
Se M for um subespaço linear fechado de um espaço normalizado X, existe uma norma natural no quociente espaço X / M,
‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {\i1}x+M}=em limites _{\i1}x+m}.{\i}
>O quociente X / M é um espaço Banach quando X está completo. O quociente de X para X / M, enviando x em X para a sua classe x + M, é linear, para e tem norma 1, excepto quando M = X, caso em que o quociente é o espaço nulo.
O subespaço linear fechado M de X é dito ser um subespaço complementar de X se M for o intervalo de uma projecção linear limitada P de X para M. Neste caso, o espaço X é isomórfico à soma directa de M e Ker(P), o núcleo da projecção P.
Suponha que X e Y são espaços Banach e que T ∈ B(X, Y). Existe uma factorização canónica de T como
T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {\i1}displaystyle T=T_{\i}circ {\i}, T:X {\i}overet {\i}{\i}longrightarrow {\i}{\i} X/\i}operatorname (T) “Overet” (T) “Longrightarrow” (1) “Y” (1)
Editar espaços clássicos
Exemplos básicos de espaços Banach incluem: os espaços Lp e seus casos especiais, os espaços de sequência ℓp que consistem em sequências escalares indexadas por N; entre eles, o espaço ℓ1 de sequências absolutamente totalizáveis e o espaço ℓ2 de sequências quadradas totalizáveis; o espaço c0 de sequências tendendo a zero e o espaço ℓ∞ de sequências delimitadas; o espaço C(K) de funções escalares contínuas num espaço Hausdorff compacto K, equipado com a norma max,
‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } } , f ∈ C ( K ) . …f(K)||f(K)||máx|f(x)|:xin K(K)|,f(K)|quad f(K).|
De acordo com o teorema Banach-Mazur, todo espaço Banach é isomórfico isométrico a um subespaço de algum C(K). Para cada espaço Banach separável X, há um subespaço M fechado de ℓ1 tal que X ≅ ℓ1/M.
Any Hilbert espaço serve como um exemplo de um espaço Banach. Um espaço Hilbert H em K = R, C está completo para uma norma do formulário
‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {\\\i1}_{H}={\iqrt {\iqrt {\iqrt x, H × H → K {\i1}K {\i1}displaystyle {\i}langle {\i1}cdot ,{\i}cdot {\i1}rangle :H\i}vezes H\i}mathbf {\i} }
é o produto interior, linear no seu primeiro argumento que satisfaz o seguinte:
∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0.
Por exemplo, o espaço L2 é um espaço Hilbert.
Os espaços Hardy, os espaços Sobolev são exemplos de espaços Banach que estão relacionados com espaços Lp e têm estrutura adicional. Eles são importantes em diferentes ramos de análise, análise harmônica e equações diferenciais parciais entre outros.
As álgebras de BanachEdit
A Álgebra de Banach é um espaço Banach A sobre K = R ou C, juntamente com uma estrutura de álgebra sobre K, de modo que o mapa do produto A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A é contínuo. Uma norma equivalente em A pode ser encontrada para que ||||ab||| ≤ ||||a||| |b|||| para todos a, b ∈ A.
ExemplosEditar
- O espaço Banach C(K), com o produto pontual, é uma álgebra Banach.
- A álgebra de disco A(D) consiste em funções holomórficas no disco da unidade aberta D ⊂ C e contínua no seu fechamento: D. Equipada com a norma máxima em D, a álgebra de disco A(D) é uma álgebra fechada de C(D).
- A álgebra Wiener A(T) é a álgebra das funções no círculo unitário T com a série Fourier absolutamente convergente. Através do mapa associando uma função em T à sequência dos seus coeficientes de Fourier, esta álgebra é isomórfica à álgebra de Banach ℓ1(Z), onde o produto é a convolução das sequências.
- Para cada espaço Banach X, o espaço B(X) dos operadores lineares delimitados em X, com a composição dos mapas como produto, é uma álgebra Banach.
- A álgebra C* é uma álgebra Banach complexa A com uma involução antilinear a ↦ a∗ tal que ||a∗a||| = |||a||2. O espaço B(H) de operadores lineares limitados num espaço H de Hilbert é um exemplo fundamental da álgebra C*. O teorema de Gelfand-Naimark afirma que toda álgebra C* é isométrica isomórfica a uma álgebra C*-subalgebra de alguma B(H). O espaço C(K) de funções contínuas complexas em um espaço Hausdorff compacto K é um exemplo de álgebra C* comutativa, onde a involução associa a cada função de seu complexo conjugado f .
Duplo espaçoEditar
Se X é um espaço normalizado e K o campo subjacente (os números reais ou complexos), o espaço duplo contínuo é o espaço dos mapas lineares contínuos de X para K, ou dos mapas funcionais lineares contínuos. A notação para o duplo contínuo é X ′ = B(X, K) neste artigo. Como K é um espaço Banach (usando o valor absoluto como norma), o duplo X ′ é um espaço Banach, para cada espaço normalizado X.
A principal ferramenta para provar a existência de funções lineares contínuas é o teorema de Hahn-Banach.
Teorema de Hahn-Banach. Que X seja um espaço vetorial sobre o campo K = R, C. Que mais adiante
- Y ⊆ X seja um subespaço linear,
- p : X → R seja uma função sublinear e
- f : Y → K seja uma função linear para que Re( f (y)) ≤ p(y) para todos y em Y.
Então, existe uma função linear F : X → K para que F | Y = f , e ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ) ≤ p ( x ) . F|__Y}=f,|quad |text{\i}{\i1}quad {\i}forall x\i}in X,|operatorname {Re} (F(x)){leq p(x).}
Em particular, cada função linear contínua num subespaço de um espaço normalizado pode ser continuamente estendida para todo o espaço, sem aumentar a norma da função. Um caso especial importante é o seguinte: para cada vector x num espaço normalizado X, existe um f linear contínuo funcional em X tal que
f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. f(x)=|x||_{X},|quad ||f|_{X’}_leq 1.}
Quando x não é igual ao vector 0, o f funcional deve ter uma norma, e é chamado de funcional de norma para x.
O teorema da separação Hahn-Banach afirma que dois conjuntos convexos não vazios desajustados em um espaço Banach real, um deles aberto, podem ser separados por um hiperplano afim fechado. O conjunto convexo aberto fica estritamente de um lado do hiperplano, o segundo conjunto convexo fica do outro lado mas pode tocar o hiperplano.
Um subconjunto S num espaço Banach X é total se o vão linear de S for denso em X. O subconjunto S é total em X se e somente se a única função linear contínua que desaparece em S for a função 0: esta equivalência segue do teorema Hahn-Banach.
Se X é a soma direta de dois subespaços lineares fechados M e N, então o duplo X ′ de X é isomórfico para a soma direta dos duplos de M e N. Se M é um subespaço linear fechado em X, pode-se associar o ortogonal de M no duplo,
M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } . “M” ao estilo de um jogo de futebol “à esquerda” em “X”:x”(m)=0,0,para todos em “direita”.
The orthogonal M ⊥ é um subespaço linear fechado do dual. O duplo de M é isomórfico isométrico a X ′ / M ⊥. O duplo de X / M é isométrico isomórfico para M ⊥.
O duplo de um espaço Banach separável não precisa ser separável, mas:
Teorema. Deixe X ser um espaço normalizado. Se X ′ é separável, então X é separável.
Quando X ′ é separável, o critério acima para a totalidade pode ser usado para provar a existência de um subconjunto total contável em X.
Topologias fracasEditar
A topologia fraca num espaço Banach X é a topologia mais grosseira em X para a qual todos os elementos x ′ no espaço duplo contínuo X ′ são contínuos. A topologia normal é portanto mais fina do que a topologia fraca. Do teorema de separação Hahn-Banach resulta que a topologia fraca é Hausdorff, e que um subconjunto convexo fechado por norma de um espaço Banach é também fracamente fechado. Um mapa linear normalizado contínuo entre dois espaços Banach X e Y é também fracamente contínuo, ou seja, contínuo desde a fraca topologia de X até à de Y.
Se X é infinitamente dimensional, existem mapas lineares que não são contínuos. O espaço X∗ de todos os mapas lineares de X para o campo subjacente K (este espaço X∗ é chamado de espaço duplo algébrico, para distingui-lo de X ′) também induz uma topologia sobre X que é mais fina do que a topologia fraca, e muito menos usada na análise funcional.
Num espaço duplo X ′, existe uma topologia mais fraca do que a topologia fraca de X ′, chamada de topologia fraca*. É a topologia mais grosseira de X ′ para a qual todos os mapas de avaliação x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, são contínuos. A sua importância vem do teorema Banach-Alaoglu.
Teorema Banach-Alaoglu. Que X seja um espaço vectorial normalizado. Então a unidade fechada bola B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′|| ≤ 1} do espaço duplo é compacto na topologia fraca*.
O teorema de Banach-Alaoglu depende do teorema de Tychonoff sobre produtos infinitos de espaços compactos. Quando X é separável, a unidade esfera B ′ do dual é um compacto metrizável na topologia fraca*.
Exemplos de espaços duplosEditar
O duplo de c0 é isométrico isomórfico para ℓ1: para cada f linear funcional limitado em c0, existe um elemento único y = {yn} ∈ ℓ1 tal que
f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , e ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . f(x)=sum f(x)=sum _{n=mathbf {N} x_x_{n}y_{n},qquad x={x_{n}}in c_{0},|textos{\i}{(c_0})
O duplo de ℓ1 é isomórfico isométrico para ℓ∞. O duplo de Lp() é isométrico isomórfico para Lq() quando 1 ≤ p < ∞ e 1/p + 1/q = 1.
Para cada vector y num espaço Hilbert H, o mapeamento
x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=langle x,y\rangle }
define uma fy funcional linear contínua em H. O teorema da representação de Riesz afirma que cada fy funcional linear contínua em H é da forma fy para um vetor y definido exclusivamente em H. O mapeamento y ∈ H → fy é uma bijecção isométrica antilinear de H para o seu H duplo ′. Quando os escalares são reais, este mapa é um isomorfismo isométrico.
Quando K é um espaço topológico Hausdorff compacto, o duplo M(K) de C(K) é o espaço de medidas de Radon no sentido de Bourbaki. O subconjunto P(K) de M(K) consiste em medidas não negativas de massa 1 (medidas de probabilidade) é um subconjunto convexo w*-closed da esfera unitária de M(K). Os pontos extremos de P(K) são as medidas Dirac em K. O conjunto de medidas Dirac em K, equipado com a w*-topologia, é homeomórfico para K.
Teorema de Banach-Stone. Se K e L são espaços Hausdorff compactos e se C(K) e C(L) são isométricos, então os espaços topológicos K e L são homeomórficos.
O resultado foi estendido por Amir e Cambern para o caso quando a distância multiplicativa Banach-Mazur entre C(K) e C(L) é < 2. O teorema não é mais verdadeiro quando a distância é = 2,
Na álgebra Banach comutativa C(K), os ideais máximos são precisamente kernels de medidas Dirac em K,
I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } , x ∈ K . I_x_displaystyle I_x}{\i1}ker _delta _{\i}{\i}{\i1}(C(K):f(x)=0},{\i1}quad x_in K.}
Mais geralmente, pelo teorema de Gelfand-Mazur, os ideais máximos de uma álgebra Banach comutativa unital podem ser identificados com seus caracteres – não apenas como conjuntos, mas como espaços topológicos: o primeiro com a topologia do casco e o segundo com a topologia w*-topologia. Nesta identificação, o espaço ideal máximo pode ser visto como um subconjunto w*-compacto da esfera da unidade no duplo A ′.
Theorem. Se K é um espaço Hausdorff compacto, então o espaço ideal máximo Ξ da álgebra Banach C(K) é homeomórfico para K.
Não toda álgebra Banach comutativa unital é da forma C(K) para algum espaço Hausdorff compacto K. No entanto, esta afirmação é válida se se colocar C(K) na categoria menor de C*-algebras comutativas. O teorema de representação de Gelfand para C*-algebras comutativo afirma que toda álgebra C* comutativa unital A é isomórfica isométrica para um espaço C(K). O espaço compacto K de Hausdorff aqui é novamente o espaço ideal máximo, também chamado de espectro de A no contexto da álgebra C*.
BidualEdit
Se X é um espaço normalizado, o duplo (contínuo) X ′′ do duplo X ′ é chamado de bidual, ou segundo duplo de X. Para cada espaço normalizado X, existe um mapa natural,
{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X”para X”F_{X}(x)(f)=f(x)&>9117 para todos no X, para todos no X’end{cases}}}
>F(x) como uma função linear contínua em X ′, ou seja, um elemento de X ′′. O mapa FX : x → FX(x) é um mapa linear de X a X ′′. Como consequência da existência de um f funcional normalizador para cada x em X, este mapa FX é isométrico, portanto injectivo.
Por exemplo, o duplo de X = c0 é identificado com ℓ1, e o duplo de ℓ1 é identificado com ℓ∞, o espaço das sequências escalares delimitadas. Sob estas identificações, FX é o mapa de inclusão de c0 a ℓ∞. É de facto isométrico, mas não em.
Se FX é sobrejectivo, então o espaço normalizado X é chamado de reflexivo (ver abaixo). Sendo o duplo de um espaço normalizado, o bidual X ′′ é completo, portanto, todo espaço normalizado reflexivo é um espaço Banach.
Utilizando o FX isométrico embutido, é costume considerar um espaço normalizado X como um subconjunto do seu bidual. Quando X é um espaço Banach, ele é visto como um subespaço linear fechado de X ′′. Se X não for reflexivo, a unidade esfera de X é um subconjunto apropriado da unidade esfera de X ′′. O teorema da Goldstine afirma que a unidade esfera de um espaço normalizado é fraca*-densa na unidade esfera do bidual. Em outras palavras, para cada x ′′ no bidual, existe uma rede {xj} em X para que
sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . x_leq |x”|,x”(f)=lim _{j}f(x_{j}),|quad f\\\\\i(x_{j})
A rede pode ser substituída por uma sequência fraca*-convergente quando o duplo X ′ é separável. Por outro lado, elementos do bidual de ℓ1 que não estão em ℓ1 não podem ser fracos* limite de sequências em ℓ1, uma vez que ℓ1 é fracamente sequencialmente completo.
Teoremas de BanachEdit
Aqui estão os principais resultados gerais sobre os espaços Banach que remontam ao tempo do livro de Banach (Banach (1932)) e estão relacionados com o teorema da categoria Baire. De acordo com este teorema, um espaço métrico completo (como um espaço Banach, um espaço Fréchet ou um espaço F) não pode ser igual a uma união de vários subconjuntos fechados com interiores vazios. Portanto, um espaço Banach não pode ser a união de vários subespaços fechados, a menos que já seja igual a um deles; um espaço Banach com uma base Hamel contável é finito-dimensional.
Teorema Banach-Steinhaus. Que X seja um espaço Banach e Y seja um espaço vectorial normalizado. Suponha que F é uma coleção de operadores lineares contínuos de X a Y. O princípio da delimitação uniforme diz que se para todos os x em X temos supT∈F |||T(x)||Y < ∞, então supT∈F |||T|||Y < ∞.
O teorema do Banach-Steinhaus não se limita aos espaços Banach. Ele pode ser estendido por exemplo ao caso em que X é um espaço Fréchet, desde que a conclusão seja modificada da seguinte forma: sob a mesma hipótese, existe um bairro U de 0 em X tal que todos os T em F são uniformemente delimitados em U,
sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . T(x)|T(x)|_T(x)|_4859><> em grande estilo.
The Open Mapping Theorem. Que X e Y sejam espaços Banach e T : X → Y seja um operador linear contínuo surjectivo, depois T é um mapa aberto. Corolário. Cada operador linear de um para um espaço de Banach para um espaço de Banach é um isomorfismo. O Primeiro Teorema de Isomorfismo para os espaços Banach. Suponha que X e Y são espaços Banach e que T ∈ B(X, Y). Suponha ainda que o intervalo de T é fechado em Y. Então X/ Ker(T) é isomórfico para T(X).
Este resultado é uma consequência direta do teorema anterior do isomorfismo Banach e da factorização canónica de mapas lineares delimitados.
Corolário. Se um espaço Banach X é a soma interna direta dos subespaços fechados M1, …, Mn, então X é isomórfico para M1 ⊕ … ⊕ Mn.
Esta é outra consequência do teorema do isomorfismo de Banach, aplicado à bijecção contínua de M1 ⊕ … ⊕ Mn para o envio de X (m1, …, mn) para a soma m1 + … + mn.
O Teorema do Gráfico Fechado. Deixe T : X → Y ser um mapeamento linear entre os espaços Banach. O gráfico de T é fechado em X × Y se e só se T for contínuo.
ReflexividadeEditar
O espaço normalizado X é chamado de reflexivo quando o mapa natural
{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\\\i1}displaystyle {\i1}F_{X}:X\a X”\i_{X}(x)(f)=f(x)&\i}forall x\i}in X,{\i}forall f\i}in X'{\i}end{\i}
é sobrejectivo. Os espaços normatizados reflexivos são espaços Banach.
Teorema. Se X é um espaço Banach reflexivo, cada subespaço fechado de X e cada espaço quociente de X são reflexivos.
Esta é uma consequência do teorema de Hahn-Banach. Além disso, pelo teorema do mapeamento aberto, se existe um operador linear limitado do espaço Banach X para o espaço Banach Y, então Y é reflexivo.
Teorema. Se X é um espaço Banach, então X é reflexivo se e somente se X ′ é reflexivo. Corolário. Deixe X ser um espaço Banach reflexivo. Então X é separável se e somente se X ′ for separável.
Indeed, se o duplo Y ′ de um espaço Banach Y é separável, então Y é separável. Se X é reflexivo e separável, então o duplo de X ′ é separável, então X ′ é separável.
Teorema. Suponha que X1, …, Xn são espaços normalizados e que X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Então X é reflexivo se e só se cada Xj for reflexivo.
Espaços Hilbert são reflexivos. Os espaços Lp são reflexivos quando 1 < p < ∞. Mais geralmente, os espaços uniformemente convexos são reflexivos, pelo teorema de Milman-Pettis. Os espaços c0, ℓ1, L1(), C() não são reflexivos. Nestes exemplos de espaços não reflexivos X, o bidual X ′′ é “muito maior” que X. Nomeadamente, sob a incorporação isométrica natural de X no X ′′ dado pelo teorema Hahn-Banach, o quociente X ′′ / X é infinitamente dimensional, e mesmo não separável. Entretanto, Robert C. James construiu um exemplo de um espaço não-reflexivo, normalmente chamado “o espaço James” e denotado por J, de tal forma que o quociente J ′′ / J é unidimensional. Além disso, este espaço J é isomórfico isométrico ao seu bidual.
Teorema. Um espaço Banach X é reflexivo se e só se a sua esfera unitária for compacta na topologia fraca.
Quando X é reflexivo, segue-se que todos os subconjuntos convexos fechados e delimitados de X são fracamente compactos. Em um espaço Hilbert H, a fraca compactação da esfera unitária é muito utilizada da seguinte forma: cada seqüência delimitada em H tem subsequências fracamente convergentes.
Baixa compactação da esfera unitária fornece uma ferramenta para encontrar soluções em espaços reflexivos para certos problemas de otimização. Por exemplo, cada função contínua convexa na unidade esfera B de um espaço reflexo atinge seu mínimo em algum ponto em B.
Como um caso especial do resultado anterior, quando X é um espaço reflexo sobre R, cada f funcional linear contínuo f em X ′ atinge seu máximo ||| f ||| na unidade esfera de X. O seguinte teorema de Robert C. James fornece uma declaração convergente.
Teorema de James. Para um espaço Banach as duas propriedades seguintes são equivalentes:
- X é reflexivo.
- para todos f em X ′ existe x em X com |||x||| ≤ 1, de modo que f (x) = ||| f ||||.
O teorema pode ser estendido para dar uma caracterização de conjuntos convexos pouco compactos.
Em cada espaço Banach não-reflexivo X, existem funções lineares contínuas que não são normalizadas. No entanto, o teorema do Bispo-Phelps afirma que os funcionais que contêm normas são densos no duplo X ′ de X.
Fracas convergências de sequênciasEditar
Uma sequência {xn} num espaço Banach X é fracamente convergente para um vector x ∈ X se f (xn) convergir para f (x) para cada f funcional linear contínuo no duplo X ′. A sequência {xn} é uma sequência Cauchy fraca se f (xn) converge para um limite escalar L( f ), para cada f no X ′. Uma seqüência { fn } no duplo X ′ é fraca* convergente para um f funcional ∈ X ′ se fn (x) converge para f (x) para cada x em X. Seqüências fracamente Cauchy, fracamente convergentes e fracamente* convergentes são limitadas por norma, como conseqüência do teorema de Banach-Steinhaus.
Quando a sequência {xn} em X é uma sequência fracamente Cauchy, o limite L acima define uma função linear limitada no duplo X ′, ou seja, um elemento L do bidual de X, e L é o limite de {xn} na fraca*-topologia do bidual. O espaço Banach X é fracamente completo sequencialmente se cada sequência fraca de Cauchy for fracamente convergente em X. Decorre da discussão anterior que os espaços reflexivos são fracamente completos sequencialmente.
Teorema. Para cada medida μ, o espaço L1(μ) é fracamente seqüencialmente completo.
Uma sequência orto-normal num espaço Hilbert é um exemplo simples de uma sequência fracamente convergente, com limite igual ao vetor 0. A base unitária vetorial de ℓp, 1 < p < ∞, ou de c0, é outro exemplo de uma seqüência fracamente nula, ou seja, uma seqüência que converge fracamente para 0. Para cada seqüência fracamente nula num espaço Banach, existe uma seqüência de combinações convexas de vetores a partir da seqüência dada que é normalizadora para 0,
A base unitária vetorial de ℓ1 não é fracamente Cauchy. As sequências fracas de Cauchy em ℓ1 são fracamente convergentes, uma vez que os espaços L1 são fracamente completos sequencialmente. Na verdade, as sequências fracamente convergentes em ℓ1 são normalmente convergentes. Isto significa que ℓ1 satisfaz a propriedade de Schur.
Resultados envolvendo a base ℓ1Editar
Sequências fracas de Cauchy e a base ℓ1 são os casos opostos da dicotomia estabelecida no seguinte resultado profundo de H. P. Rosenthal.
Teorema. Que {xn} seja uma sequência limitada num espaço Banach. Ou {xn} tem uma sub-sequência Cauchy fraca, ou admite uma sub-sequência equivalente à unidade padrão de base vectorial de ℓ1.
Um complemento a este resultado é devido a Odell e Rosenthal (1975).
Teorema. Deixe X ser um espaço Banach separável. O seguinte é equivalente:
- O espaço X não contém um isomórfico de subespaço fechado para ℓ1.
- Cada elemento do bidual X ′′ é o limite fraco* de uma sequência {xn} em X.
Pelo teorema Goldstine, cada elemento da unidade esfera B ′′ de X ′′ é o limite fraco* de uma rede na unidade esfera de X. Quando X não contém ℓ1, cada elemento da esfera de B ′′ é fraco* limite de uma sequência na unidade esfera de X.
Quando o espaço Banach X é separável, a esfera unitária do duplo X ′, equipada com a topologia fraca*, é um espaço compacto K metrizável, e cada elemento x ′′ no bidual X ′′ define uma função delimitada em K:
x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ‖ . estilo de jogo x’in K\psto x”(x’),x'(x’),x'(x’),x'(x’),x'(x’),x'(x’),x'(x’),x'(x’),x'(x’),x'(x’),x
Esta função é contínua para a topologia compacta de K se e só se x ′′ estiver realmente em X, considerado como subconjunto de X ′′. Suponha, além disso, para o resto do parágrafo que X não contém ℓ1. Pelo resultado anterior de Odell e Rosenthal, a função x ′′ é o limite pontual em K de uma sequência {xn} ⊂ X de funções contínuas em K, é portanto uma primeira função da classe Baire em K. A esfera unitária do bidual é um subconjunto compacto pontual da primeira classe Baire em K.
Sequências, fraca e fraca* compactaçãoEditar
Quando X é separável, a unidade esfera do dual é fraca*-compacta por Banach-Alaoglu e metrizável para a topologia fraca*, daí que cada sequência delimitada no dual tem subsequências fracas* convergentes. Isto aplica-se a espaços reflexivos separáveis, mas mais é verdade neste caso, como indicado abaixo.
A topologia fraca de um espaço Banach X é metrizável se e somente se X for finito-dimensional. Se o duplo X ′ for separável, a topologia fraca da esfera unitária de X é metrizável. Isto aplica-se em particular aos espaços Banach reflexivos separáveis. Embora a topologia fraca da esfera unitária não seja metrizável em geral, pode-se caracterizar a fraca compactação usando sequências.
Teorema de Eberlein-Simulian. Um conjunto A em um espaço Banach é relativamente fraco compacto se e somente se cada seqüência {an} em A tem uma subseqüência fracamente convergente.
A espaço Banach X é reflexivo se e somente se cada seqüência limitada em X tem uma subsequence fracamente convergente.
Um subconjunto A fracamente compacto em ℓ1 é norma-compacto. Na verdade, cada seqüência em A tem sub-sequências fracamente convergentes por Eberlein-Simulian, que são norma convergente pela propriedade Schur de ℓ1.