Número de polícia

Cada gráfico cuja circunferência é maior que quatro tem um número de polícia pelo menos igual ao seu grau mínimo. Segue-se que existem gráficos de número de polícia arbitrariamente alto.

Problema não resolvido em matemática:

Qual é o maior número de polícia possível de um n {\\i1}displaystyle n

> $n$

– gráficovertex?

Henri Meyniel (também conhecido por gráficos Meyniel) conjecturou em 1985 que cada n {\i1}displaystyle n {\i}

$n$

– o gráficovertex tem o número O ( n ) {\\i1}{\i1}displaystyle O({\i}{n})}

$O({\sqrt n})$

. Os gráficos Levi (ou gráficos de incidência) dos planos projectivos finitos têm perímetro seis e grau mínimo Ω ( n ) {\i} {\i1}Omega ({\iqrt {\i})}

$\\Omega ({\sqrt n})$

, portanto, se for verdade, este limite seria o melhor possível.

Todos os gráficos têm um número de polícia sublinear. Uma maneira de provar isto é usar subgrafos que são guardados por um único polícia: o polícia pode mover-se para seguir o ladrão de tal forma que, se o ladrão alguma vez se mover para o subgrafo, o polícia pode imediatamente capturar o ladrão. Dois tipos de subgráficos que são guardados são a vizinhança fechada de um único vértice, e um caminho mais curto entre quaisquer dois vértices. O Moore vinculado no problema do diâmetro do grau implica que pelo menos um destes dois tipos de conjuntos guardável tem tamanho Ω ( log n / log log n ) {\i1}displaystyle {\i}Omega (log n/log n)log n

$\\Omega(\log n/\log n)$

. A utilização de um polícia para guardar este conjunto e a repetição dentro dos componentes ligados dos restantes vértices do gráfico mostra que o número do polícia é no máximo O ( n log log n / log n ) {\i1}{\i1}displaystyle O(n\i}log n/log n)}

${\i1}displaystyle O(n\i}log n/log n)}$

Um limite superior sublinear mais forte no número da polícia,

n 2 ( 1 – o ( 1 ) ) log n , {\i1}displaystyle {\i}{2^{(1-o(1)){\i}{\i1}sqrt {\i}log n}}}}},}

${\i}displaystyle {\i}{\i}{2^{(1-o(1)){\i} {\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}sqrt {\i}log n}}}}},}$

é conhecido. No entanto, os problemas de obtenção de um limite apertado, e de provar ou refutar a conjectura de Meyniel, permanecem por resolver. É mesmo desconhecido se a conjectura suave de Meyniel, que existe uma constante c < 1 {\\\i1}displaystyle c<1}

${\i1}$

para o qual o número de polícia é sempre O ( n c ) {\i} {\i1}displaystyle O(n^{c})}

$O(n^{c})$

, é verdade.

Computar o número de polícia de um dado gráfico é EXPTIME-hard, e difícil para a complexidade parametrizada.

Deixe um comentário Cancelar resposta