Cálculo da constante gravitacional, com modelo de aparelho de acompanhamento.
O que mostra
A atração gravitacional entre esferas de chumbo. Os dados da demonstração também podem ser usados para calcular a constante gravitacional universal G.
Foto cortesia Clive Grainger
Como funciona
O aparelho Cavendish consiste basicamente em dois pares de esferas, cada par formando halteres que têm um eixo giratório comum (figura 1). Um haltere é suspenso de uma fibra de quartzo e está livre para girar torcendo a fibra; a quantidade de torção medida pela posição de uma mancha de luz refletida de um espelho ligado à fibra. O segundo haltere pode ser girado de modo que cada uma de suas esferas esteja próxima a uma das esferas do outro haltere; a atração gravitacional entre dois conjuntos de esferas torce a fibra, e é a medida dessa torção que permite calcular a magnitude da força gravitacional.
figurar 1. os halteres gêmeos da experiência Cavendish
O aparelho Cavendish que usamos atualmente é construído pela PASCO. 1 A fibra de quartzo e o haltere menor são fechados em uma caixa metálica com janela de vidro para proteção. Uma vista plana das esferas e das dimensões é dada na figura 2. Um laser HeNe é usado para proporcionar a reflexão do ponto. Quando o aparelho é utilizado quantitativamente, o método do tempo de oscilação é normalmente utilizado para calcular G.
figurar 2. Vista plana da disposição do haltere duplo
O haltere grande é girado em seu eixo de modo que as esferas pressionem contra o escudo de vidro ao lado das esferas menores (ver figura 2). A atração gravitacional entre as esferas exerce um torque sobre a fibra de quartzo que gira através de um pequeno ângulo. A posição do ponto refletido é observada e o grande haltere é movido para sua segunda posição do outro lado do vidro; a atração gravitacional torce a fibra na direção oposta. O tempo de resposta do spot para se mover para a segunda posição e para a posição final do spot são anotados. A velocidade com que a fibra pode responder ao movimento depende de sua constante de torção κ, que pode ser calculada medindo o período de oscilação da fibra,
O torque aplicado devido à atração gravitacional τ=κθ onde θ é o ângulo máximo de deflexão da mancha de luz. Nesta deflexão máxima, a força entre uma esfera grande e uma esfera pequena é
onde r é a distância entre os centros da esfera. Está relacionado com o torque por τ=F(L/2) onde L é o comprimento do pequeno haltere. Então a constante gravitacional pode ser calculada por
Nota que, quando o espelho gira através de um ângulo θ, a luz refletida se move através de 2θ. Assim, invertendo o haltere é medido um ângulo de 4θ.
Dados para este aparelho em particular são dados na tabela 1.
tabela 1. Dados do aparelho Cavendish
| constante de rotação κ | 3,10 ± 0,10 x 10-8 N m (calculado a partir das especificações PASCO e medição direta) |
| período de oscilação T | 498,2 ± 6,0 s (da medição direta) |
| max. ângulo de excursão | sem 5 x 10-2 radianos, ou menos de 3 graus (da medição directa) quando grandes massas se deslocaram de uma posição para outra |
| ângulo deequilíbrio θ | 5,40 x 10-3 radianos ± 15% (da medição directa) |
| separação de esferas pequenas r | de especificação PASCO: 46,5 mm quando a massa grande está contra a caixa e a esfera pequena está na posição central dentro da caixa. Note que a precisão deste valor depende de quão bem o balanço está centrado dentro da caixa. |
| massa da esfera maior M | 1500 g (da especificação) |
| massa da esfera pequena m | 38,3 ± 0.2 g (das especificações) |
| distância do centro de pequena massa ao eixo de torção | 50 mm (das especificações) |
Configurando:
Esta experiência usa um aparelho muito sensível que requer paciência e delicadeza para ser configurado corretamente. Consulte a impressão do manual do usuário PASCO na pasta azul “Cavendish Experiment” no arquivo.
- Primeiro encontre uma plataforma estável e coloque-a na sala de conferências. Embora a balança tenha pés que podem ser ajustados para torná-la nivelada, para melhores resultados a plataforma também deve estar razoavelmente nivelada.
- A balança PASCO actualmente em uso é muito sensível, por isso para proteger contra danos na fita de torção durante o trânsito o aparelho deve ser transportado com cuidado para a sala de conferências e colocado na plataforma.
- Remover a placa frontal da balança para expor o pequeno haltere e os braços de apoio ajustáveis que o imobilizam durante o trânsito. Baixe os braços de apoio para que não interfiram com os halteres. Ajuste os pés para que todo o aparelho fique nivelado, e substitua a placa frontal.
- Utilize o fio amarelo para aterrar electricamente o aparelho. Coloque as massas grandes na posição “neutra”, de modo que elas fiquem perpendiculares com as massas pequenas no interior.
- Neste ponto o haltere provavelmente está se movendo um pouco dentro da caixa; conforme a balança se acalma, coloque o laser na distância e ângulo apropriados para a audiência.
- As vibrações do haltere normalmente se atenuam após cerca de 20 minutos. Para um ajuste mais rápido, os movimentos podem ser amortecidos levantando e baixando lentamente os braços de apoio. Se depois de assentar o haltere continuar a mudar abruptamente de direção, isto significa que o equilíbrio de torção da fita se afastou muito de onde deveria estar, e a fita precisa ser “zerada”. Também perto da parte superior, o grande botão redondo ligado à cinta elástica é utilizado para mudar a direcção da fita (note que existe um botão de ajuste fino e grosseiro). Esperar até que o haltere tenha feito a sua excursão completa na direção do ajuste necessário para minimizar a oscilação adicional. Volte a apertar cuidadosamente o parafuso de fixação (não muito apertado) e humedeça o haltere vibratório, se necessário. Repita até zerar.
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O aparelho foi originalmente inventado pelo Rev. John Michell em 1795 para medir a densidade da Terra, e foi modificado por Henry Cavendish em 1798 para medir G. Em 1785 Coulomb usou um aparelho semelhante para medir a força eletrostática entre as bolas de medula carregadas. Além do significado histórico do experimento, é muito legal ver que você pode medir uma força tão incrivelmente fraca usando um dispositivo tão simples.
Em uma sala de conferências, o aparelho Cavendish é muito pequeno para a platéia ver o seu funcionamento. Um modelo em grande escala do haltere e dos componentes de fibra são uma boa idéia para ajudar a explicar o que está acontecendo. Construímos tal modelo a partir de madeira e latão, com braços de halteres de 50cm de comprimento e o pequeno haltere pendurado em um fio de cobre. As esferas maiores, feitas de madeira, têm ímãs fechados e as esferas menores, de isopor, têm rolamentos de esferas de aço em seus centros.
1. M.H.Shamos, Great Experiments in Physics, (Henry Holt & Co. New York 1959) p.75, contém o papel original de Cavendish
2. R.E. Crandall, Am J Phys 54, 367, 1983.
3. J.Cl. Dousse and C. Rheme, Am J Phys 55, 706, 1987.
4. Y.T. Chen and A. Cook, Gravitational Experiments in the Laboratory, (Cambridge University Press, 1993).
5. C. A. Coulomb, Premiere Memoire sur l’electricite et le Magnetisme, Histoire de l’Academie Royale des Sciences, 569-577 (1785).
1 disponível em CENCO 33210C, e PASCO SE-9633