Recebemos todo o tipo de perguntas na nossa caixa de entrada “Pergunte a um Físico” (incluindo um número positivamente desanimador de pessoas que parecem pensar que é “Pergunte a um Psíquico”), mas um tópico que consistentemente parece despertar a imaginação e a curiosidade das pessoas é a velocidade da luz. O que o define, e porque é que nada pode ir mais rápido do que isso? O que acontece se tentarmos? Pensar nestas questões e tentar encontrar as suas respostas é fascinante e divertido por si só, mas mais importante ainda, dá-nos uma visão das regras subjacentes ao nosso universo. Hoje, vamos cavar em uma dessas perguntas e sua resposta esclarecedora (sem trocadilho): Porque é que a velocidade da luz num vácuo é de ~300.000.000 metros por segundo? Por que c?
Independentemente do comprimento de onda e da energia, todas as ondas eletromagnéticas se movem à mesma velocidade.
Imagine que você tem um fio carregado que se estende infinitamente em ambas as direções. Como é infinito, é difícil falar de quanta carga total está no fio, da maneira que seríamos capazes de falar se fosse algo como uma esfera. No entanto, olhando para uma unidade finita de comprimento, podemos falar sobre – por exemplo – a carga por metro, ou densidade de carga.
Um fio infinito parece o mesmo de qualquer ponto ao longo de seu comprimento, então quando você pensa sobre a força do campo elétrico criado pela carga neste fio – quão fortemente uma partícula carregada seria atraída ou repelida por ela – vai depender apenas da densidade de carga do fio e da distância dessa partícula do fio (assim como a permissividade do meio em que você está, que para nossos propósitos é um vácuo). A equação para o campo elétrico ao redor deste fio é mostrada abaixo:
Agora, na distância infinita, alguém começa a girar neste fio, puxando-o ao longo de seu eixo. Para todos os efeitos práticos, este movimento cria uma corrente; em vez de mover as cargas no fio (como você faria mudando a voltagem em uma extremidade), estamos movendo o próprio fio, juntamente com as cargas que ele contém. Quanto ao porquê, você esperançosamente verá em um momento.
Como você deve saber, uma corrente em um fio cria um campo magnético que gira em torno desse fio. A força desse campo magnético dependerá da sua distância do fio (d), mas também da força da corrente, que neste caso é o produto da densidade de carga do fio e da velocidade com que está a ser puxado.
Agora imagine que tem um segundo desses fios, paralelo ao primeiro, carregado à mesma tensão, e sendo puxado na mesma direcção à mesma velocidade. Sendo da mesma carga, os dois fios se repelirão um ao outro, afastados por sua repulsão eletrostática.
No cálculo da força entre dois objetos carregados, suas cargas são multiplicadas juntas, levando ao termo lambda-quadrado acima (já que cada fio tem uma densidade de carga de lambda).
A carga elétrica estática sobre estes fios leva-os a se repelirem um ao outro. No entanto, como os fios estão sendo puxados na mesma direção, há efetivamente uma corrente em cada um deles, e o campo magnético que acompanha essas correntes. Quando você tem duas correntes apontando na mesma direção em fios paralelos, seus campos magnéticos criam uma força atrativa entre os dois – quanto mais rápido eles estiverem indo, mais forte essa força atrativa se torna.
A equação para a força atrativa criada magneticamente entre os fios.
Se você estiver acompanhando de perto, verá que nós criamos um cenário onde a força atrativa do magnetismo contraria a força elétrica repulsiva entre esses fios. Como você pode ver pelas equações acima, no entanto, a força dessa força magnética depende de quão rápido os fios estão se movendo, enquanto a força elétrica repulsiva não (daí o termo físico comum eletrostático). Então, a que velocidade os fios teriam de se mover para que a repulsão elétrica fosse cancelada pela atração magnética? Podemos descobrir definindo as duas equações de força iguais uma à outra, como abaixo, e depois resolvendo para v.
Um pouco de álgebra nos ajuda a nos livrarmos dos parênteses e reduzir a fração no lado direito da equação, produzindo isto:
Um resultado surpreendente neste passo é que o termo densidade de carga aparece no mesmo lugar em ambos os lados da equação, e elevado à mesma potência, o que significa que pode ser “cancelado” – a velocidade que os fios têm de se mover para que as suas forças eléctricas e magnéticas se equilibrem não depende de forma alguma da força da carga. O fator de 2*pi*d também cancela, o que significa que a distância entre os fios também é irrelevante nesta equação. Dividir todos os termos redundantes transforma a equação em:
e, finalmente, resolver para v rendimentos:
Se você ligar os valores numéricos reais para a permissividade e permeabilidade do vácuo, ele funciona para 299.792.400 metros por segundo -recisamente a velocidade da luz!
Então o que é que isto significa? Para um, significa que na realidade nunca se poderia mover os fios suficientemente rápido para que a sua repulsão eléctrica fosse completamente neutralizada pela sua atracção magnética, uma vez que nenhum objecto maciço se pode mover à velocidade da luz. Mais importante, no entanto, dá-nos uma pista sobre o porquê da velocidade da luz no vácuo ser o que é; é a velocidade em que as forças eléctricas e magnéticas se equilibram para criar um pacote de ondas electromagnéticas estável que pode viajar indefinidamente. Qualquer mais lento e o fotão seria desfeito, tal como os fios seriam afastados pela repulsão eléctrica. Qualquer mais rápido, e o magnetismo venceria essa repulsão e os juntaria, colapsando o sistema. Com nada mais do que matemática de alto nível escolar, é fácil mostrar que a velocidade da luz num meio (ou no vácuo do espaço) surge inevitavelmente como consequência da permissividade eléctrica e da permeabilidade magnética desse meio.
Eu sei que isso foi terrivelmente matemático – para um post de blog (na verdade tivemos que resolver tudo isso como um problema de casa na faculdade), mas espero que isso tenha te dado um vislumbre de uma das partes mais excitantes e viciantes da física – o potencial de derivar e descobrir verdades universais literais com nada mais do que um pouco de imaginação e matemática.