Teoria da matriz aleatória parte da suposição de que o comportamento em larga escala de um sistema complexo deve ser governado por suas simetrias e pelas propriedades estatísticas de seus parâmetros, e ser relativamente insensível aos detalhes precisos de cada elemento que interage. A teoria visa principalmente determinar as estatísticas dos valores próprios e dos vetores próprios de matrizes aleatórias no limite de grande porte. O trabalho inicial, originado na física nuclear, concentrou-se em conjuntos com simetria hermitiana e interações entre todos, semelhantes aos modelos de campo médio na física estatística. Relaxar a suposição de tudo-para-todos introduz desordem topológica e leva a conjuntos de matrizes randômicas esparsas com muitas entradas de matriz zero. Tais matrizes modelam sistemas complexos onde um dado grau de liberdade interage com um número finito de outros, e surgem naturalmente em conexão com sistemas como redes neurais ou ecossistemas.
Embora esta ampla importância, entretanto, matrizes randômicas esparsas não-hermitianas só receberam um estudo significativo na última década, já que métodos de análise padrão da teoria da matriz aleatória não se aplicam. Resultados rigorosos para tais matrizes são quase inexistentes uma vez que é muito difícil provar a convergência de propriedades de valores próprios e vetores próprios para um limite determinístico em tamanhos de matrizes grandes. No entanto, pesquisas recentes têm feito progressos com novas abordagens. Em um novo artigo, o LML Fellow Fernando Metz, juntamente com Izaak Neri do King’s College London e Tim Rogers da Universidade de Bath, revisam o progresso teórico no estudo dos espectros de matrizes aleatórias esparsas não-hermitianas, com foco em abordagens exatas baseadas em uma analogia frutífera entre cálculos de matrizes aleatórias e a mecânica estatística de sistemas de spin desordenados. Como eles mostram, para modelos simples, estes métodos dão acesso a resultados analíticos para as propriedades espectrais de matrizes aleatórias não-hermitianas esparsas. Para modelos mais complicados, as propriedades espectrais também podem ser computadas no limite de grandes dimensões usando algoritmos numéricos.
Metz e colegas fecham sua revisão observando que a teoria das matrizes aleatórias esparsas não-hermitianas ainda está na sua infância, em comparação com a teoria clássica das matrizes aleatórias, e há muitas questões pendentes. Entre elas está a questão da universalidade. O interesse na teoria da matriz aleatória depende em grande parte do comportamento universal de muitos observáveis espectrais, o que torna possível estudar a estabilidade de sistemas dinâmicos complexos. No caso de matrizes aleatórias esparsas, esta possibilidade parece ser perdida devido a fortes flutuações locais na estrutura gráfica. Contudo, acontece que muitos conjuntos de matrizes aleatórias esparsas não-hermitianas exibem algumas propriedades universais, tais como a lacuna espectral, o autovalor com a maior parte real e os momentos autovetoriais correspondentes a este autovalor. Estas propriedades espectrais determinam a estabilidade e a dinâmica de estado estacionário de sistemas complexos. Assim, parece que há esperança de encontrar comportamento universal para matrizes esparsas, se olharmos para os observáveis certos, o que poderia levar a uma melhor compreensão da universalidade em grandes sistemas dinâmicos.
Uma pré-impressão do papel está disponível em https://arxiv.org/abs/1811.10416