Och även om både Descartes och Fermat föreslog att man skulle använda tre koordinater för att studera kurvor och ytor i rymden, utvecklades den tredimensionella analytiska geometrin långsamt fram till omkring 1730, då de schweiziska matematikerna Leonhard Euler och Jakob Hermann och den franske matematikern Alexis Clairaut tog fram generella ekvationer för cylindrar, koner och revolutionsytor. Euler och Hermann visade till exempel att ekvationen f(z) = x2 + y2 ger den yta som uppstår genom att vrida kurvan f(z) = x2 runt z-axeln (se figuren, som visar den elliptiska paraboloiden z = x2 + y2).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Newton gjorde det anmärkningsvärda påståendet att alla plana kubikformer uppstår från dem i hans tredje standardform genom projektion mellan plan. Detta bevisades oberoende av varandra 1731 av Clairaut och den franske matematikern François Nicole. Clairaut fick fram alla kubikerna i Newtons fyra standardformer som sektioner av kubiken conezy2 = ax3 + bx2z + cxz2 + dz3 som består av de linjer i rymden som förbinder ursprunget (0, 0, 0) med punkterna på den tredje standardkubiken i planet z = 1.
I 1748 använde Euler ekvationer för rotationer och translationer i rummet för att omvandla den allmänna fyrkantiga ytanax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0 så att dess huvudaxlar sammanfaller med koordinataxlarna. Euler och de franska matematikerna Joseph-Louis Lagrange och Gaspard Monge gjorde den analytiska geometrin oberoende av den syntetiska (icke-analytiska) geometrin.
Vektoranalys
I det euklidiska rummet i alla dimensioner kan vektorer – riktade linjesträckningar – specificeras genom koordinater. En n-tupel (a1, …, an) representerar den vektor i det n-dimensionella rummet som projicerar på de reella talen a1, …, an på koordinataxlarna.
År 1843 representerade den irländske matematikern-astronomen William Rowan Hamilton fyrdimensionella vektorer algebraiskt och uppfann kvaternionerna, den första icke kommutativa algebra som studerades i stor omfattning. Genom att multiplicera quaternionerna med en koordinatnolla upptäckte Hamilton grundläggande operationer på vektorer. Trots detta fann matematiska fysiker den notation som används i vektoranalysen mer flexibel – i synnerhet är den lätt att utvidga till oändligt dimensionella rum. Kvaternionerna förblev algebraiskt intressanta och införlivades på 1960-talet i vissa nya modeller för partikelfysik.
Projektioner
I samband med att den lättillgängliga datorkraften växte exponentiellt under 1900-talets sista decennier blev datoranimering och datorstödd design allestädes närvarande. Dessa tillämpningar bygger på tredimensionell analytisk geometri. Koordinater används för att bestämma de kanter eller parametriska kurvor som utgör gränserna för virtuella objekts ytor. Vektoranalys används för att modellera belysning och bestämma realistiska skuggningar av ytor.
Redan 1850 hade Julius Plücker förenat analytisk och projektiv geometri genom att införa homogena koordinater som representerar punkter i det euklidiska planet (se Euklidisk geometri) och i oändligheten på ett enhetligt sätt som triplar. Projektiva transformationer, som är inverterbara linjära förändringar av homogena koordinater, ges genom matrismultiplikation. Detta gör det möjligt för datorgrafikprogram att effektivt ändra formen eller vyn på avbildade objekt och projicera dem från det tredimensionella virtuella rummet till den tvådimensionella visningsskärmen.
Robert Alan BixHarry Joseph D’Souza