Banachrum

Linjära operatörer, isomorfismerRedigera

Om X och Y är normerade rum över samma grundfält K, betecknas mängden av alla kontinuerliga K-lineära kartor T : X → Y med B(X, Y). I oändligt dimensionella rum är inte alla linjära kartor kontinuerliga. En linjär avbildning från ett normerat rum X till ett annat normerat rum är kontinuerlig om och endast om den är avgränsad på X:s slutna enhetskula. Vektorrummet B(X, Y) kan således ges operatorn norm

‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ Y ∣ x ∈ X , ‖ x ‖ X ≤ 1 } . {\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\\|x\|_{X}\leq 1\right\}.}

För Y som är ett Banach-rum är utrymmet B(X, Y) ett Banach-rum med avseende på denna norm.

Om X är ett Banach-rum bildar rummet B(X) = B(X, X) en unital Banach-algebra; multiplikationsoperationen ges av kompositionen av linjära kartor.

Om X och Y är normerade rum är de isomorfa normerade rum om det finns en linjär bijektering T : X → Y så att T och dess invers T -1 är kontinuerliga. Om ett av de två rummen X eller Y är fullständigt (eller reflexivt, separerbart osv.) så är det andra rummet det också. Två normerade rum X och Y är isometriskt isomorfa om dessutom T är en isometri, dvs, ||T(x)|| = ||x|| för varje x i X. Banach-Mazur-avståndet d(X, Y) mellan två isomorfa men inte isometriska utrymmen X och Y ger ett mått på hur mycket de två utrymmena X och Y skiljer sig åt.

Grundläggande begreppRedigera

Den kartesiska produkten X × Y av två normerade utrymmen är inte kanoniskt utrustad med en norm. Flera likvärdiga normer används dock ofta, till exempel

‖ ( x , y ) ‖ 1 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ , ‖ ( x , y ) ‖ ∞ = max ( ‖ x ‖ x ‖ , ‖ y ‖ ) {\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}

och ger upphov till isomorfa normerade rum. I denna mening är produkten X × Y (eller den direkta summan X ⊕ Y) komplett om och endast om de två faktorerna är kompletta.

Om M är ett slutet linjärt delutrymme av ett normerat rum X finns det en naturlig norm på kvotutrymmet X / M,

‖ x + M ‖ = inf m ∈ M ‖ x + m ‖ . {\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}

Kvotienten X / M är ett Banach-rum när X är komplett. Den kvotära kartan från X till X / M, som skickar x i X till dess klass x + M, är linjär, onto och har norm 1, utom när M = X, i vilket fall kvoten är nollutrymmet.

Den slutna linjära delrymden M av X sägs vara en kompletterad delrymd av X om M är området för en avgränsad linjär projektion P från X till M. I detta fall är rummet X isomorft till den direkta summan av M och Ker(P), kärnan av projektionen P.

Förutsatt att X och Y är Banach-rum och att T ∈ B(X, Y). Det finns en kanonisk faktorisering av T som

T = T 1 ∘ π , T : X ⟶ π X / Ker ( T ) ⟶ T 1 Y {\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\operatorname {Ker} (T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\\ Y}

där den första kartan π är kvotkartan och den andra kartan T1 skickar varje klass x + Ker(T) i kvoten till bilden T(x) i Y. Detta är väldefinierat eftersom alla element i samma klass har samma bild. Kartläggningen T1 är en linjär bijection från X / Ker(T) till intervallet T(X), vars inversa inte behöver vara avgränsad.

Klassiska utrymmenRedigera

Basiska exempel på Banach-utrymmen är bland annat: Lp-rummen och deras specialfall, sekvensrummen ℓp som består av skalära sekvenser indexerade med N; bland dem, rummet ℓ1 av absolut summerbara sekvenser och rummet ℓ2 av kvadratiskt summerbara sekvenser; Rymden c0 av sekvenser som tenderar mot noll och rummet ℓ∞ av avgränsade sekvenser. Rymden C(K) av kontinuerliga skalära funktioner i ett kompakt Hausdorff-rum K, utrustad med max-normen,

‖ f ‖ C ( K ) = max { | f ( x ) | : x ∈ K } , f ∈ C ( K ) . {\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}

Enligt Banach-Mazur-satsen är varje Banach-rymd isometriskt isomorf till ett underrymd till ett visst C(K). För varje separerbar Banachrymd X finns det en sluten underrymd M till ℓ1 så att X ≅ ℓ1/M.

Varje Hilbertrymd fungerar som ett exempel på en Banachrymd. Ett Hilbertutrymme H på K = R, C är komplett för en norm av formen

‖ x ‖ H = ⟨ x , x ⟩ , {\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}

här

⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → K {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbf {K} }

är den inre produkten, linjär i sitt första argument som uppfyller följande:

∀ x , y ∈ H : ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ , ∀ x ∈ H : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 , ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\forall x,y\in H:\quad \langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\\\\forall x\in H:\quad \langle x,x\rangle &\geq 0,\\\\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x&=0.\end{aligned}}}

Till exempel är L2 ett Hilbert-rum.

Hardy-rummen, Sobolev-rummen är exempel på Banach-rum som är besläktade med Lp-rummen och har ytterligare struktur. De är viktiga inom olika grenar av analys, harmonisk analys och partiella differentialekvationer bland annat.

Banach algebrasEdit

En Banach algebra är en Banach-rymd A över K = R eller C, tillsammans med en struktur av algebra över K, så att produktkartan A × A ∋ (a, b) ↦ ab ∈ A är kontinuerlig. En likvärdig norm på A kan hittas så att ||ab|| ≤ ||a|| ||b|| för alla a, b ∈ A.

ExempelRedigera

• Banach-rummet C(K), med den punktvisa produkten, är en Banach-algebra.
• Skivalgebra A(D) består av funktioner som är holomorfa i den öppna enhetsskivan D ⊂ C och kontinuerliga på dess slutenhet: D. Utrustad med max-normen på D är skivalgebran A(D) en sluten subalgebra till C(D).
• Wieneralgebran A(T) är algebran av funktioner på enhetscirkeln T med absolut konvergerande Fourierserier. Via den karta som associerar en funktion på T till sekvensen av dess Fourierkoefficienter är denna algebra isomorf till Banachalgebran ℓ1(Z), där produkten är konvolutionen av sekvenser.
• För varje Banach-rum X är rummet B(X) av avgränsade linjära operatörer på X, med kompositionen av kartor som produkt, en Banach-algebra.
• En C*-algebra är en komplex Banach-algebra A med en antilinjär involution a ↦ a∗ så att ||a∗a||| = ||a||2. Utrymmet B(H) för avgränsade linjära operatörer på ett Hilbertutrymme H är ett grundläggande exempel på C*-algebra. Gelfand-Naimark-satsen säger att varje C*-algebra är isometriskt isomorf till en C*-subalgebra till en viss B(H). Rymden C(K) av komplexa kontinuerliga funktioner på en kompakt Hausdorffrymd K är ett exempel på kommutativ C*-algebra, där involutionen associerar till varje funktion f dess komplexa konjugat f .

DubbelrymdRedigera

Om X är ett normerat rum och K det underliggande fältet (antingen de reella eller de komplexa talen) är det kontinuerliga dual space rummet av kontinuerliga linjära kartor från X till K, eller kontinuerliga linjära funktionaler. Notationen för det kontinuerliga duala rummet är X ′ = B(X, K) i denna artikel. Eftersom K är ett Banach-rum (med absolutvärdet som norm) är den dubbla X ′ ett Banach-rum för varje normerat rum X.

Det viktigaste verktyget för att bevisa existensen av kontinuerliga linjära funktionaler är Hahn-Banach-satsen.

Hahn-Banach-satsen. Låt X vara ett vektorrum över fältet K = R, C. Låt vidare

• Y ⊆ X vara ett linjärt underrum,
• p : X → R vara en sublinjär funktion och
• f : Y → K vara en linjär funktion så att Re( f (y))) ≤ p(y) för alla y i Y.

Då finns det en linjär funktion F : X → K så att F | Y = f , och ∀ x ∈ X , Re ( F ( x ) ) ≤ p ( x ) . {\displaystyle F|_{Y}=f,\quad {\text{and}}\quad \forall x\in X,\ \ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}

I synnerhet kan varje kontinuerligt linjärt funktionellt funktionellt på ett delutrymme i ett normerat utrymme kontinuerligt utvidgas till hela utrymmet, utan att öka funktionellens norm. Ett viktigt specialfall är följande: För varje vektor x i ett normerat rum X finns det en kontinuerlig linjär funktionell f på X så att

f ( x ) = ‖ x ‖ X , ‖ f ‖ X ′ ≤ 1. {\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X’}\leq 1.}

När x inte är lika med 0-vektorn måste funktionaliteten f ha norm ett och kallas för en normfunktionell för x.

Hahn-Banachs separationssats säger att två disjunkna icke-tomma konvexa mängder i ett reellt Banach-rum, varav en är öppen, kan separeras av ett slutet affint hyperplan. Den öppna konvexa mängden ligger strikt på en sida av hyperplanet, den andra konvexa mängden ligger på den andra sidan men kan röra hyperplanet.

En delmängd S i ett Banach-rum X är total om den linjära spännvidden av S är tät i X. Delmängden S är total i X om och endast om den enda kontinuerliga linjära funktionaliteten som försvinner på S är 0-funktionaliteten: denna ekvivalens följer av Hahn-Banach-satsen.

Om X är den direkta summan av två slutna linjära delområden M och N, så är dual X ′ av X isomorf till den direkta summan av dualen av M och N. Om M är ett slutet linjärt delområde i X kan man associera ortogonalen till M i dualen,

M ⊥ = { x ′ ∈ X ′ : x ′ ( m ) = 0 , ∀ m ∈ M } . {\displaystyle M^{\perp }=\left\{x’\in X’:x'(m)=0,\\forall m\in M\right\}.}

Den ortogonala M ⊥ är ett slutet linjärt delutrymme av den dubbla. M:s dual är isometriskt isomorf till X ′ / M ⊥. Dualerna av X / M är isometriskt isomorfa till M ⊥.

Dualen av ett separerbart Banach-rum behöver inte vara separerbart, men:

Teorem. Låt X vara ett normerat rum. Om X ′ är separerbart är X separerbart.

Om X ′ är separerbart kan ovanstående kriterium för totalitet användas för att bevisa existensen av en avräkningsbar total delmängd i X.

Svaga topologierRedigera

Den svaga topologin på ett Banach-rum X är den grövsta topologin på X för vilken alla element x ′ i det kontinuerliga duala rummet X ′ är kontinuerliga. Normtopologin är därför finare än den svaga topologin. Av Hahn-Banachs separationssats följer att den svaga topologin är Hausdorff, och att en normstängd konvex delmängd av en Banachrymd också är svagt stängd. En normkontinuerlig linjär karta mellan två Banachrum X och Y är också svagt kontinuerlig, dvs. kontinuerlig från den svaga topologin i X till den i Y.

Om X är oändligt dimensionellt finns det linjära kartor som inte är kontinuerliga. Rummet X∗ av alla linjära kartor från X till det underliggande fältet K (detta rum X∗ kallas det algebraiska duala rummet, för att skilja det från X ′) inducerar också en topologi på X som är finare än den svaga topologin, och som används mycket mindre i funktionell analys.

På ett dualt rum X ′ finns det en topologi som är svagare än den svaga topologin på X ′, som kallas svag* topologi. Det är den grövsta topologin på X ′ för vilken alla utvärderingskartor x′ ∈ X ′ → x′(x), x ∈ X, är kontinuerliga. Dess betydelse kommer från Banach-Alaoglu-satsen.

Banach-Alaoglu-satsen. Låt X vara ett normerat vektorrum. Då är den slutna enhetskulan B ′ = {x′ ∈ X ′ : ||x′|| ≤ 1} av det dubbla rummet är kompakt i den svaga* topologin.

Banach-Alaoglu-satsen beror på Tychonoffs sats om oändliga produkter av kompakta rum. När X är separerbart är enhetsbollen B ′ i det dubbla rummet en metrizabel kompakt i den svaga* topologin.

Exempel på duala utrymmenRedigera

Den duala av c0 är isometriskt isomorf till ℓ1: för varje avgränsad linjär funktionell f på c0 finns det ett unikt element y = {yn} ∈ ℓ1 så att

f ( x ) = ∑ n ∈ N x n y n , x = { x n } ∈ c 0 , och ‖ f ‖ ( c 0 ) ′ = ‖ y ‖ ℓ 1 . {\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbf {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ \\ {\text{and}}\\ \\|f\|_{(c_{0})’}=\|y\|_{\ell _{1}}}.}

Den dubbla ℓ1 är isometriskt isomorf till ℓ∞. Dualerna av Lp() är isometriskt isomorfa till Lq() när 1 ≤ p < ∞ och 1/p + 1/q = 1.

För varje vektor y i ett Hilbertutrymme H är avbildningen

x ∈ H → f y ( x ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }

definierar en kontinuerlig linjär funktionell fy på H. Riesz representationssats säger att varje kontinuerlig linjär funktionell på H är av formen fy för en entydigt definierad vektor y i H. Mappningen y ∈ H → fy är en antilinjär isometrisk bijektering från H till dess dual H ′. När skalarerna är reella är denna karta en isometrisk isomorfism.

När K är ett kompakt Hausdorff-topologiskt rum är den dubbla M(K) av C(K) rummet för Radonmått i Bourbakis mening. Delmängden P(K) av M(K) som består av icke-negativa mått med massa 1 (sannolikhetsmått) är en konvex w*-luten delmängd av enhetskulan i M(K). Extrempunkterna i P(K) är Dirac-mått på K. Mängden Dirac-mått på K, utrustad med w*-topologin, är homeomorf till K.

Banach-Stone Theorem. Om K och L är kompakta Hausdorff-rum och om C(K) och C(L) är isometriskt isomorfa, så är de topologiska rummen K och L homeomorfa.

Resultatet har utvidgats av Amir och Cambern till att gälla även när det multiplikativa Banach-Mazur-avståndet mellan C(K) och C(L) är < 2. Satsen är inte längre sann när avståndet är = 2.

I den kommutativa Banachalgebran C(K) är de maximala idealen just kärnor av Dirac-mått på K,

I x = ker δ x = { f ∈ C ( K ) : f ( x ) = 0 } , x ∈ K . {\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.}

Mer generellt, genom Gelfand-Mazur-satsen, kan de maximala idealen i en unital kommutativ Banach-algebra identifieras med dess karaktärer – inte bara som mängder utan också som topologiska utrymmen: det förstnämnda med hull-kernel-topologin och det sistnämnda med w*-topologin. I denna identifiering kan det maximala idealutrymmet ses som en w*-kompakt delmängd av enhetskulan i den dubbla A ′.

Teorem. Om K är ett kompakt Hausdorff-rum är det maximala idealrummet Ξ för Banachalgebra C(K) homeomorft till K.

Inte varje unital kommutativ Banachalgebra är av formen C(K) för något kompakt Hausdorff-rum K. Detta påstående gäller dock om man placerar C(K) i den mindre kategorin av kommutativa C*-algebror. Gelfands representationssats för kommutativa C*-algebror säger att varje kommutativ unital C*-algebra A är isometriskt isomorf till ett C(K)-utrymme. Den kompakta Hausdorffrymden K är här återigen den maximala idealrymden, även kallad A:s spektrum i C*-algebrasammanhang.

BidualEdit

Om X är en normerad rymd kallas den (kontinuerliga) dualen X ′′′ av dualen X ′ för bidual, eller den andra dualen av X. För varje normerat rum X finns det en naturlig karta,

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\till X”\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\för alla x\i X,\för alla f\i X’\end{cases}}}

Detta definierar FX(x) som ett kontinuerligt linjärt funktionellt element på X ′, dvs. ett element i X ′′. Kartan FX : x → FX(x) är en linjär karta från X till X ′′. Som en följd av att det finns en normfunktionell f för varje x i X är denna karta FX isometrisk, alltså injektiv.

Till exempel identifieras dualen av X = c0 med ℓ1, och dualen av ℓ1 identifieras med ℓ∞, utrymmet för avgränsade skalära sekvenser. Under dessa identifieringar är FX inklusionskartan från c0 till ℓ∞. Den är visserligen isometrisk, men inte onto.

Om FX är surjektiv kallas det normerade rummet X för reflexivt (se nedan). Eftersom det är dual till ett normerat rum, är den tvådelade X ′′ komplett, och därför är varje reflexivt normerat rum ett Banach-rum.

Med hjälp av den isometriska inbäddningen FX är det vanligt att betrakta ett normerat rum X som en delmängd av dess tvådelade rum. När X är ett Banach-rum betraktas det som ett slutet linjärt delområde av X ′′. Om X inte är reflexivt är enhetskulan i X en korrekt delmängd av enhetskulan i X ′′. Goldstine-satsen säger att enhetskulan i ett normerat rum är svagt*-tät i enhetskulan i bidual. Med andra ord finns det för varje x ′′ i den biduella ett nät {xj} i X så att

sup j ‖ x j ‖ ≤ ‖ x ″ ‖ x ″ ‖ , x ″ ( f ) = lim j f ( x j ) , f ∈ X ′ . {\displaystyle \sup _{j}\|x_{j}\|\leq \|x”\|,\ \ x”(f)=\lim _{j}f(x_{j}),\quad f\in X’.}

Nätet kan ersättas av en svagt*-konvergent sekvens när den dubbla X ′ är separerbar. Å andra sidan kan inte element i bidualerna i ℓ1 som inte finns i ℓ1 vara svagt*-gränser för sekvenser i ℓ1, eftersom ℓ1 är svagt sekventiellt komplett.

Banachs satserRedigera

Här är de viktigaste allmänna resultaten om Banach-rum som går tillbaka till tiden för Banachs bok (Banach (1932)) och som är relaterade till Baire-kategorins sats. Enligt denna sats kan ett fullständigt metriskt rum (såsom ett Banach-rum, ett Fréchet-rum eller ett F-rum) inte vara lika med en förening av räknbart många slutna delmängder med tomma interiörer. Därför kan en Banach-rymd inte vara föreningen av räknbart många slutna delrymder, såvida den inte redan är lika med en av dem; en Banach-rymd med en räknbar Hamel-bas är finit-dimensionell.

Banach-Steinhaus-satsen. Låt X vara ett Banach-rum och Y ett normerat vektorrum. Anta att F är en samling kontinuerliga linjära operatörer från X till Y. Den enhetliga begränsningsprincipen säger att om vi för alla x i X har supT∈F ||T(x)||Y < ∞, så är supT∈F ||T|Y < ∞.

Banach-Steinhaus-satsen är inte begränsad till Banachrymder. Det kan till exempel utvidgas till fallet där X är ett Fréchet-rum, förutsatt att slutsatsen modifieras på följande sätt: under samma hypotes finns det ett grannskap U av 0 i X så att alla T i F är enhetligt bundna på U,

sup T ∈ F sup x ∈ U ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}

The Open Mapping Theorem. Om X och Y är Banach-rum och T : X → Y är en surjektiv kontinuerlig linjär operatör, så är T en öppen karta. Korollarium. Varje en-till-en-gränsad linjär operatör från ett Banach-rum till ett Banach-rum är en isomorfism. Den första satsen om isomorfism för Banachrymder. Anta att X och Y är Banachrymder och att T ∈ B(X, Y). Anta vidare att T:s område är slutet i Y. Då är X/ Ker(T) isomorf till T(X).

Detta resultat är en direkt följd av föregående Banach isomorfism-sats och av den kanoniska faktoriseringen av bundna linjära kartor.

Korollarium. Om ett Banach-rum X är den interna direkta summan av slutna delrum M1, …, Mn, så är X isomorf till M1 ⊕ … ⊕ Mn.

Detta är en annan konsekvens av Banachs isomorfismteorem, tillämpad på den kontinuerliga bijektionen från M1 ⊕ … ⊕ Mn till X som skickar (m1, …, mn) till summan m1 + … + mn.

The Closed Graph Theorem. Låt T : X → Y vara en linjär avbildning mellan Banachrymder. T:s graf är sluten i X × Y om och endast om T är kontinuerlig.

ReflexivitetRedigera

Det normerade rummet X kallas reflexivt när den naturliga kartan

{ F X : X → X ″ F X ( x ) ( f ) = f ( x ) ∀ x ∈ X , ∀ f ∈ X ′ {\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X”\\\F_{X}(x)(f)=f(x)&\forall x\in X,\forall f\in X’\end{cases}}}

är surjektiv. Reflexivt normerade rum är Banachrum.

Teorem. Om X är ett reflexivt Banach-rum är alla slutna underrum av X och alla kvotrum av X reflexiva.

Detta är en konsekvens av Hahn-Banach-satsen. Vidare är Y reflexiv enligt teoremet om öppen avbildning om det finns en avgränsad linjär operatör från Banach-rummet X till Banach-rummet Y.

Teorem. Om X är ett Banach-rum är X reflexivt om och endast om X ′ är reflexivt. Korollarium. Låt X vara ett reflexivt Banach-rum. Då är X separerbart om och endast om X ′ är separerbart.

Om den dubbla Y ′ av ett Banach-rum Y är separerbart, så är Y separerbart. Om X är reflexivt och separerbart, så är den dubbla delen av X ′ separerbar, så X ′ är separerbar.

Teorem. Anta att X1, …, Xn är normerade rum och att X = X1 ⊕ … ⊕ Xn. Då är X reflexiv om och endast om varje Xj är reflexiv.

Hilbert-rum är reflexiva. Lp-rummen är reflexiva när 1 < p < ∞. Mer allmänt är enhetligt konvexa utrymmen reflexiva enligt Milman-Pettis-satsen. Rummen c0, ℓ1, L1(), C() är inte reflexiva. I dessa exempel på icke-reflexiva utrymmen X är den tvådelade X ′′′ ”mycket större” än X. Under den naturliga isometriska inbäddningen av X i X ′′′ som ges av Hahn-Banach-satsen är kvoten X ′′′ / X oändligt dimensionell och till och med icke-separerbar. Robert C. James har dock konstruerat ett exempel på ett icke-reflexivt rum, vanligen kallat ”James-rummet” och betecknat med J, så att kvoten J ′′ / J är endimensionell. Dessutom är detta rum J isometriskt isomorft till sin bidual.

Teorem. Ett Banach-rum X är reflexivt om och endast om dess enhetskula är kompakt i den svaga topologin.

När X är reflexiv följer att alla slutna och avgränsade konvexa delmängder av X är svagt kompakta. I ett Hilbert-rum H används den svaga kompaktheten hos enhetskulan mycket ofta på följande sätt: varje bunden sekvens i H har svagt konvergerande undersekvenser.

Enhetskulans svaga kompakthet är ett verktyg för att hitta lösningar i reflexiva rum för vissa optimeringsproblem. Till exempel uppnår varje konvex kontinuerlig funktion på enhetsbollen B i ett reflexivt rum sitt minimum i någon punkt i B.

Som ett specialfall av föregående resultat, när X är ett reflexivt rum över R, uppnår varje kontinuerlig linjär funktionell f i X ′ sitt maximum || f || på enhetsbollen i X. Följande sats av Robert C. James ger ett omvänt uttalande.

James’ sats. För ett Banach-område är följande två egenskaper ekvivalenta:

• X är reflexiv.
• För alla f i X ′ finns det x i X med ||x|| ≤ 1, så att f (x) = || f ||.

Satsen kan utvidgas till att ge en karakterisering av svagt kompakta konvexa mängder.

På varje icke reflexiv Banachrymd X finns det kontinuerliga linjära funktionaler som inte är normgivande. Bishop-Phelps-satsen säger dock att norm-attaining funktionaler är normtäta i X:s dual X ′.

Svag konvergens av sekvenserRedigera

En sekvens {xn} i en Banach-rymd X är svagt konvergent till en vektor x ∈ X om f (xn) konvergerar till f (x) för varje kontinuerlig linjär funktional f i dual X ′. Sekvensen {xn} är en svagt Cauchy-sekvens om f (xn) konvergerar till en skalär gräns L( f ), för varje f i X ′. En sekvens { fn } i det dubbla X ′ är svagt* konvergent till en funktionell f ∈ X ′ om fn (x) konvergerar till f (x) för varje x i X. Svagt Cauchy-sekvenser, svagt konvergenta och svagt* konvergenta sekvenser är normbundna, som en följd av Banach-Steinhaus-satsen.

När sekvensen {xn} i X är en svagt Cauchy-sekvens definierar gränsen L ovan en avgränsad linjär funktionell på det dubbla X ′, dvs, ett element L i X:s bidual, och L är gränsen för {xn} i bidualens svaga*-topologi. Banachrummet X är svagt sekventiellt komplett om varje svagt Cauchy-sekvens är svagt konvergent i X. Av föregående diskussion följer att reflexiva rum är svagt sekventiellt kompletta.

Teorem. För varje mått μ är utrymmet L1(μ) svagt sekventiellt komplett.

En ortonormal sekvens i ett Hilbert-rum är ett enkelt exempel på en svagt konvergent sekvens, vars gräns är lika med 0-vektorn. Enhetsvektorbasen för ℓp, 1 < p < ∞, eller för c0, är ett annat exempel på en svagt nollföljd, dvs. en sekvens som konvergerar svagt till 0. För varje svagt nollföljd i ett Banach-rum finns det en sekvens av konvexa kombinationer av vektorer från den givna sekvensen som är normkonvergerande till 0.

Enhetsvektorbasen för ℓ1 är inte svagt Cauchy. Svagt Cauchy-följder i ℓ1 är svagt konvergerande, eftersom L1-rummen är svagt sekventiellt kompletta. Svagt konvergerande sekvenser i ℓ1 är faktiskt normkonvergenta. Detta innebär att ℓ1 uppfyller Schurs egenskap.

Resultat som involverar ℓ1-basenEdit

Svagt kongruenta Cauchysekvenser och ℓ1-basen är de motsatta fallen av den dikotomi som etableras i följande djupa resultat av H. P. Rosenthal.

Teorem. Låt {xn} vara en avgränsad sekvens i ett Banachrum. Antingen har {xn} en svagt Cauchy-subsekvens, eller så medger den en subsekvens som är likvärdig med ℓ1:s standardbas för enhetsvektorer.

Ett komplement till detta resultat är ett resultat av Odell och Rosenthal (1975).

Teorem. Låt X vara ett separerbart Banachrum. Följande är ekvivalenta:

• Rummet X innehåller inget slutet underutrymme som är isomorft till ℓ1.
• Varje element i bidual X ′′′ är den svaga*-gränsen för en sekvens {xn} i X.

Enligt Goldstine-satsen är varje element i enhetskulan B ′′′ av X ′′′ svag*gräns för ett nät i enhetskulan i X. När X inte innehåller ℓ1 är varje element i B ′′ svag*-gräns för en sekvens i X:s enhetskula.

När Banach-rummet X är separerbart är enhetskulan för den dubbla X ′, utrustad med den svaga*-topologin, ett metrisabelt kompakt rum K, och varje element x ′′′ i den dubbla X ′′ definierar en avgränsad funktion på K:

x ′ ∈ K ↦ x ″ ( x ′ ) , | x ″ ( x ′ ) | ≤ ‖ x ″ ‖ . {\displaystyle x’\in K\mapsto x”'(x’),\quad \left|x”(x’)\right|\leq \left\|x”\right\|.}

Denna funktion är kontinuerlig för K:s kompakta topologi om och endast om x ′′′ faktiskt finns i X, betraktat som en delmängd av X ′′′. Anta dessutom för resten av stycket att X inte innehåller ℓ1. Enligt Odells och Rosenthals föregående resultat är funktionen x ′′′ den punktvisa gränsen på K för en sekvens {xn} ⊂ X av kontinuerliga funktioner på K, och den är därför en funktion av första Baireklass på K. Enhetskulan av bidual är en punktvis kompakt delmängd av den första Baireklassen på K.

Sekvenser, svag och svag* kompakthetRedigera

När X är separerbart är enhetskulan i den duala svagt*-kompakt enligt Banach-Alaoglu och metrizabel för den svaga* topologin, varför varje bunden sekvens i den duala har svagt* konvergerande undersekvenser. Detta gäller för separerbara reflexiva rum, men mer är sant i detta fall, vilket anges nedan.

Den svaga topologin för ett Banach-rum X är metrizable om och endast om X är finit-dimensionellt. Om den dubbla X ′ är separerbar är den svaga topologin för X:s enhetskula metrizabel. Detta gäller särskilt för separerbara reflexiva Banach-rum. Även om enhetskulans svaga topologi inte är metrizable i allmänhet kan man karakterisera svag kompakthet med hjälp av sekvenser.

Eberlein-Šmulianska satsen. En mängd A i ett Banach-rum är relativt svagt kompakt om och endast om varje sekvens {an} i A har en svagt konvergent undersekvens.

En Banachrymd X är reflexiv om och endast om varje avgränsad sekvens i X har en svagt konvergent underföljd.

En svagt kompakt delmängd A i ℓ1 är normkompakt. Varje sekvens i A har faktiskt svagt konvergerande undersekvenser enligt Eberlein-Šmulian, som är normkonvergenta enligt Schur-egenskapen i ℓ1.