Cantor-mängd

KardinalitetRedigera

Det kan visas att det finns lika många punkter kvar i denna process som det fanns till att börja med, och att Cantor-mängden därför är oräknelig. För att se detta visar vi att det finns en funktion f från Cantor-mängden C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

till det slutna intervallet som är surjektiv (dvs. f mappar från C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

på ) så att kardinaliteten i C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

inte är mindre än den för . Eftersom C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

är en delmängd av , är dess kardinalitet inte heller större, så de två kardinaliteterna måste faktiskt vara lika stora, enligt Cantor-Bernstein-Schröder-satsen.

För att konstruera denna funktion betraktar man punkterna i intervallet i termer av bas 3-notation (eller ternär). Kom ihåg att de egentliga ternära bråken, närmare bestämt: elementen i ( Z ∖ { 0 } ) ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}

, tillåter mer än en representation i denna notation, som till exempel 1/3, som kan skrivas som 0,13 = 0,103, men också som 0,0222…3 = 0,023, och 2/3, som kan skrivas som 0,23 = 0.203 men också som 0,1222…3 = 0,123. När vi tar bort den mellersta tredjedelen innehåller denna siffrorna med ternära siffror av formen 0,1xxxxx…3 där xxxxx…3 är strikt mellan 00000…3 och 22222…3. De tal som återstår efter det första steget består alltså av

• Tal av formen 0,0xxxxx…3 (inklusive 0,022222…3 = 1/3)
• Tal av formen 0,2xxxxx…3 (inklusive 0,222222…3 = 1/3)
• Tal av formen 0,2xxxxx…3 (inklusive 0,222222…3 = 1/3).3 = 1)

Detta kan sammanfattas genom att säga att de tal med en ternär representation så att den första siffran efter radixpunkten inte är 1 är de som återstår efter det första steget.

Det andra steget tar bort tal av formen 0,01xxxx…3 och 0,21xxxx…3, och (med lämplig omsorg om ändpunkterna) kan man dra slutsatsen att de återstående talen är de som har en ternär representation där ingen av de två första siffrorna är 1.

För att ett tal inte ska uteslutas i steg n måste det, om man vill att det inte ska uteslutas i steg n, ha en ternär representation vars n:e siffra inte är 1. För att ett tal ska ingå i Cantor-mängden får det inte vara uteslutet vid något steg, det måste tillåta en numerisk representation som helt består av 0:or och 2:or.

Det är värt att understryka att tal som 1, 1/3 = 0,13 och 7/9 = 0,213 ingår i Cantor-mängden, eftersom de har ternära numeriska representationer som helt består av 0:or och 2:or: 1 = 0,222…3 = 0,23, 1/3 = 0,0222…3 = 0,023 och 7/9 = 0,20222…3 = 0,2023.Alla de sistnämnda siffrorna är ”ändpunkter”, och dessa exempel är högergränspunkter i C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

. Detsamma gäller för de vänstra gränspunkterna för C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

, t.ex. 2/3 = 0,1222…3 = 0,123 = 0,203 och 8/9 = 0,21222…3 = 0,2123 = 0,2203. Alla dessa ändpunkter är riktiga ternära fraktioner (element av Z ⋅ 3 – N 0 {\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}

) av formen p/q, där nämnaren q är en potens av 3 när bråket är i sin irreducibla form. Den ternära representationen av dessa bråk avslutas (dvs. är ändlig) eller – kom ihåg från ovan att riktiga ternära bråk vardera har 2 representationer – är oändlig och ”slutar” i antingen oändligt många återkommande 0:or eller oändligt många återkommande 2:or. Ett sådant bråk är en vänster gränspunkt i C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

om dess ternära representation inte innehåller några 1:or och ”slutar” i oändligt många återkommande 0:or. På samma sätt är ett korrekt ternärt bråk en högergränspunkt av C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

om den återigen dess ternära expansion inte innehåller några 1:or och ”slutar” i oändligt många återkommande 2:or.

Denna uppsättning slutpunkter är tät i C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

(men inte tät i ) och utgör en räknebart oändlig mängd. Siffrorna i C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

som inte är ändpunkter har också bara 0:or och 2:or i sin ternära representation, men de kan inte sluta i en oändlig upprepning av siffran 0, inte heller av siffran 2, för då skulle det vara en ändpunkt.

Funktionen från C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

till definieras genom att ta de ternära tal som består helt och hållet av 0:or och 2:or, ersätta alla 2:or med 1:or och tolka sekvensen som en binär representation av ett verkligt tal. I en formel är f ( ∑ k ∈ N a k 3 – k ) = ∑ k ∈ N a k 2 2 2 – k {\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}}{2}}}2^{-k}}}

där ∀ k ∈ N : a k ∈ { 0 , 2 } . {\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} :a_{k}\in \{0,2\}.}

För varje tal y i , kan dess binära representation översättas till en ternär representation av ett tal x i C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

genom att ersätta alla 1:or med 2:or. Med detta blir f(x) = y så att y ligger inom f:s intervall. Om y = 3⁄5 = 0,10011001111001…2 = 0,1001 skriver vi till exempel x = 0,2002 = 0,200220022002…3 = 7⁄10. F är följaktligen surjektiv. Men f är inte injektiv – de värden för vilka f(x) sammanfaller är de värden som ligger i motsatta ändar av en av de borttagna mellersta tredjedelarna. Ta till exempel 1⁄3 = 0,023 (som är en högergränspunkt i C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

och en vänster gränspunkt i den mellersta tredjedelen ) och 2⁄3 = 0,203 (vilket är en vänster gränspunkt i C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

och en högra gränspunkt i den mellersta tredjedelen).

så

f ( 1 / 3 ) = f ( 0,0 2 ¯ 3 ) = 0,0 1 ¯ 2 = 0,1 2 = 0,1 0 ¯ 2 = f ( 0,2 0 ¯ 3 ) = f ( 2 / 3 ) . ∥ 1 / 2 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}}_{3})=0.0{overline {1}}}_{2}=\!\!&\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}

Det finns alltså lika många punkter i Cantor-mängden som det finns i intervallet (som har den oräkneliga kardinaliteten c = 2 ℵ 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}}

). Mängden slutpunkter för de borttagna intervallen är dock räkningsbar, så det måste finnas oräkneligt många tal i Cantor-mängden som inte är slutpunkter för intervallen. Som nämnts ovan är ett exempel på ett sådant tal 1⁄4, som kan skrivas som 0,020202…3 = 0,02 i ternär notation. Faktum är att givet varje a ∈ {\displaystyle a\in }

, finns det x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}

så att a = y – x {\displaystyle a=y-x}

. Detta visades för första gången av Steinhaus 1917, som via ett geometriskt argument bevisade det motsvarande påståendet att { ( x , y ) ∈ R 2 | y = x + a } ∩ ( C × C ) ≠ ∅ {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,y=x+a\}\;\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }

for every a ∈ {\displaystyle a\in }

. Eftersom denna konstruktion ger en injektion från {\displaystyle }

till C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}

, har vi | C × C | ≥ | | | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}|\geq ||={\mathfrak {c}}}

som en omedelbar följd. Om man antar att | A × A | = | A | {\displaystyle |A\times A|=|A|}

för varje oändlig mängd A {\displaystyle A}

(ett påstående som Tarski visat vara ekvivalent med valaxiomet), ger detta ytterligare en demonstration av att | C | = c {\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}}

.

Cantor-mängden innehåller lika många punkter som det intervall från vilket den är hämtad, men innehåller själv inget intervall med en längd som inte är noll. De irrationella talen har samma egenskap, men Cantor-mängden har den ytterligare egenskapen att den är sluten, så den är inte ens tät i något intervall, till skillnad från de irrationella talen som är täta i varje intervall.

Det har gissats att alla algebraiska irrationella tal är normala. Eftersom medlemmarna i Cantor-mängden inte är normala skulle detta innebära att alla medlemmar i Cantor-mängden är antingen rationella eller transcendentala.

SjälvsimilaritetRedigera

Cantor-mängden är prototypen på en fraktal. Den är självliknande, eftersom den är lika med två kopior av sig själv, om varje kopia krymps med en faktor 3 och översätts. Mer exakt är Cantor-mängden lika med föreningen av två funktioner, de vänstra och högra självlikhetstransformationerna av sig själv, T L ( x ) = x / 3 {\displaystyle T_{L}(x)=x/3}

och T R ( x ) = ( 2 + x ) / 3 {\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}

, som lämnar Cantor-mängden invariant upp till homeomorfism: T L ( C ) ≅ T R ( C ) ≅ C = T L ( C ) ∪ T R ( C ) . {\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}

Upprepad iteration av T L {\displaystyle T_{L}}

och T R {\displaystyle T_{R}}

kan visualiseras som ett oändligt binärt träd. Det vill säga, vid varje nod i trädet kan man betrakta delträdet till vänster eller till höger. Om man tar mängden { T L , T R } {\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}

tillsammans med funktionskomposition bildar en monoid, den dyadiska monoiden.

Automorfismerna för det binära trädet är dess hyperboliska rotationer och ges av den modulära gruppen. Cantor-mängden är således ett homogent rum i den meningen att för två punkter x {\displaystyle x}

och y {\displaystyle y}

i Cantor-mängden C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

finns det en homeomorfism h : C → C {\displaystyle h:{\mathcal {C}}\till {\mathcal {C}}}}

med h ( x ) = y {\displaystyle h(x)=y}

. En explicit konstruktion av h {\displaystyle h}

kan beskrivas enklare om vi ser Cantor-mängden som ett produktutrymme av ett stort antal kopior av det diskreta rummet { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}

. Då är kartan h : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } N {\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\till \{0,1\}^{\mathbb {N} }}

definierad genom h n ( u ) := u n + x n + y n mod 2 {\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}

är en involutiv homeomorfism som byter ut x {\displaystyle x}

och y {\displaystyle y}

.

KonserveringslagRedigera

Det har visat sig att någon form av konserveringslag alltid är ansvarig bakom skalning och självlikhet. När det gäller Cantor-mängden kan man se att d f {\displaystyle d_{f}}

th moment (där d f = ln ( 2 ) / ln ( 3 ) {\displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}

är den fraktala dimensionen) av alla överlevande intervaller i varje skede av konstruktionsprocessen är lika med en konstant som är lika med ett när det gäller Cantor-mängden . Vi vet att det finns N = 2 n {\displaystyle N=2^{n}}

intervaller av storlek 1/3 n {\displaystyle 1/3^{n}}

närvarande i systemet vid n {\displaystyle n}

tredje steget i dess konstruktion. Om vi då märker de överlevande intervallen som x 1 , x 2 , … , x 2 n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}

då är d f {\displaystyle d_{f}}

th moment är x 1 d f + x 2 d f + ⋯ + x 2 n d f = 1 {\displaystyle x_{1}^{d_{f}}}+x_{2}^{d_{f}}+\cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}

eftersom x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 n = 1 / 3 n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{2^{n}}=1/3^{n}}

.

Hausdorffdimensionen för Cantor-mängden är lika med ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Topologiska och analytiska egenskaperRedigera

Och även om ”Cantor-mängden” vanligen hänvisar till den ursprungliga, mellersta tredjedelen av Cantor som beskrivs ovan, så talar topologer ofta om ”en” Cantor-mängd, vilket innebär varje topologiskt rum som är homeomorf (topologiskt ekvivalent) till den.

Som ovanstående summationsargument visar är Cantor-mängden oräknelig men har Lebesgue-måttet 0. Eftersom Cantor-mängden är komplementet till en förening av öppna mängder är den i sig själv en sluten delmängd av de reella mängderna, och därmed ett komplett metriskt rum. Eftersom den också är helt avgränsad säger Heine-Borel-satsen att den måste vara kompakt.

För varje punkt i Cantor-mängden och varje godtyckligt litet grannskap till punkten finns det något annat tal med en ternär siffra som endast består av 0:or och 2:or, liksom tal vars ternära siffra innehåller 1:or. Därför är varje punkt i Cantor-mängden en ackumulationspunkt (även kallad klusterpunkt eller gränspunkt) i Cantor-mängden, men ingen är en inre punkt. En sluten mängd där varje punkt är en ackumulationspunkt kallas också för en perfekt mängd inom topologin, medan en sluten delmängd av intervallet utan inre punkter inte är tät någonstans i intervallet.

Varje punkt i Cantor-mängden är också en ackumulationspunkt i komplementet till Cantor-mängden.

För två punkter i Cantor-mängden kommer det att finnas någon ternär siffra där de skiljer sig åt – den ena kommer att ha 0 och den andra 2. Genom att dela upp Cantor-mängden i ”halvor” beroende på värdet av denna siffra får man en partition av Cantor-mängden i två slutna mängder som skiljer de ursprungliga två punkterna åt. I den relativa topologin på Cantor-mängden har punkterna separerats av en sluten mängd. Följaktligen är Cantor-mängden helt frånkopplad. Som ett kompakt, helt frånkopplat Hausdorff-rum är Cantor-mängden ett exempel på ett Stone-rum.

Som topologiskt rum är Cantor-mängden naturligt homeomorf till produkten av ett stort antal kopior av rummet { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}

, där varje kopia bär den diskreta topologin. Detta är utrymmet för alla sekvenser i två siffror 2 N = { ( x n ) ∣ x n ∈ { 0 , 1 } för n ∈ N } {\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\in \{0,1\}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} \}}

,

som också kan identifieras med mängden 2-adiska heltal. Basen för de öppna mängderna i produkttopologin är cylindermängder; homeomorfismen mappar dessa till den underrymdstopologi som Cantor-mängden ärver från den naturliga topologin på den reella tallinjen. Denna karakterisering av Cantor-rummet som en produkt av kompakta rum ger ett andra bevis för att Cantor-rummet är kompakt, via Tychonoffs sats.

Utifrån ovanstående karakterisering är Cantor-mängden homeomorf till de p-adiska heltalen och, om en punkt tas bort från den, till de p-adiska talen.

Cantor-mängden är en delmängd av de reella, som är en metrisk rymd med avseende på den vanliga avståndsmetriken; därför är Cantor-mängden i sig själv en metrisk rymd, genom att använda samma metrik. Alternativt kan man använda den p-adiska metriken på 2 N {\displaystyle 2^{\mathbb {N}}. }}

: givet två sekvenser ( x n ) , ( y n ) ∈ 2 N {\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N}} }}

, är avståndet mellan dem d ( ( ( x n ), ( y n ) ) = 2 – k {\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}

, där k {\displaystyle k}

är det minsta indexet så att x k ≠ y k {\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}}

; om det inte finns något sådant index är de två sekvenserna samma, och man definierar avståndet till noll. Dessa två mått genererar samma topologi på Cantor-mängden.

Vi har ovan sett att Cantor-mängden är en helt frånkopplad perfekt kompakt metrisk rymd. På sätt och vis är det faktiskt den enda: varje icke-tomt totalt frånkopplat perfekt kompakt metriskt rum är homeomorft till Cantor-mängden. Se Cantor space för mer information om utrymmen som är homeomorfa till Cantor set.

Cantor set betraktas ibland som ”universell” i kategorin kompakta metriska utrymmen, eftersom alla kompakta metriska utrymmen är en kontinuerlig bild av Cantor set; denna konstruktion är dock inte unik och Cantor set är därför inte universell i den exakta kategoriska bemärkelsen. Den ”universella” egenskapen har viktiga tillämpningar inom funktionell analys, där den ibland kallas representationssatsen för kompakta metriska rum.

För varje heltal q ≥ 2 är topologin på gruppen G=Zqω (den räknebara direkta summan) diskret. Även om Pontrjagin-dualen Γ också är Zqω är topologin för Γ kompakt. Man kan se att Γ är helt frånkopplad och perfekt – den är alltså homeomorf till Cantor-mängden. Det är enklast att skriva ut homeomorfismen explicit i fallet q=2. (Se Rudin 1962 s 40.)

Det geometriska medelvärdet för Cantor-mängden är ungefär 0,274974.

Mått och sannolikhetRedigera

Cantor-mängden kan ses som den kompakta gruppen av binära sekvenser, och som sådan är den utrustad med ett naturligt Haar-mått. När den normaliseras så att måttet för mängden är 1, är den en modell för en oändlig sekvens av myntkastning. Vidare kan man visa att det vanliga Lebesgue-måttet på intervallet är en bild av Haar-måttet på Cantor-mängden, medan den naturliga injektionen i den ternära mängden är ett kanoniskt exempel på ett singulärt mått. Man kan också visa att Haar-måttet är en bild av vilken sannolikhet som helst, vilket gör Cantor-mängden till ett universellt sannolikhetsrum på vissa sätt.

I Lebesgue-måttteorin är Cantor-mängden ett exempel på en mängd som är oräknelig och har nollmått.

CantortalRedigera

Om vi definierar ett Cantortal som en medlem av Cantor-mängden, så

• (1) Varje verkligt tal i är summan av två Cantortal.
• (2) Mellan två Cantortal finns ett tal som inte är ett Cantortal.

Beskrivande mängdteoriRedigera

Cantor-mängden är en mager mängd (eller en mängd av första kategorin) som delmängd av (dock inte som delmängd av sig själv, eftersom det är ett Baire-rum). Cantor-mängden visar således att föreställningar om ”storlek” i termer av kardinalitet, mått och (Baire-)kategori inte behöver sammanfalla. Liksom mängden Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, Cantor-mängden C {\displaystyle {\mathcal {C}}}

är ”liten” i den bemärkelsen att den är en nollmängd (en mängd med måttet noll) och att den är en mager delmängd av . Till skillnad från Q ∩ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap }

, som är räkningsbar och har en ”liten” kardinalitet, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}

, kardinaliteten hos C {\displaystyle {\mathcal {C}}}}

är densamma som för , kontinuumet c {\displaystyle {\mathfrak {c}}}

, och är ”stor” i betydelsen kardinalitet. I själva verket är det också möjligt att konstruera en delmängd av som är mager men med positivt mått och en delmängd som inte är mager men med mått noll: Genom att ta den räknebara föreningen av ”feta” Cantor-mängder C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}

med måttet λ = ( n – 1 ) / n {\displaystyle \lambda =(n-1)/n}

(se Smith-Volterra-Cantor-mängden nedan för konstruktionen), får vi en mängd A := ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}

som har ett positivt mått (lika med 1) men som är mager i , eftersom varje C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}

är ingenstans tät. Betrakta då mängden A c = ∖ ⋃ n = 1 ∞ C ( n ) {\displaystyle {\mathcal {A}}}^{\mathrm {c}} }=\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}

. Eftersom A ∪ A c = {\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c}} }=}

, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}}^{\mathrm {c}} }}

kan inte vara magert, men eftersom μ ( A ) = 1 {\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}

, A c {\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}

måste ha måttet noll.