Med rockens intåg skaffade sig Norman sin första gitarr vid sju års ålder. Hans tidiga musikaliska influenser var Elvis Presley, Little Richard och Lonnie Donegan.
Under dessa tidiga år flyttade Normans föräldrar mycket runt i landet, vilket resulterade i att han gick i nio olika skolor och bodde på olika platser runt om i England, till exempel Redcar, Luton, Kimpton och Nottingham. År 1962 hade familjen dock flyttat tillbaka till Normans mors hemstad Bradford. När han närmade sig sin tolfte födelsedag började Norman på St. Bede’s Grammar School, där han skulle träffa Alan Silson och Terry Uttley, framtida medlemmar i Smokie.
Som tonåringar, påverkade av den nya eran med grupper som The Beatles och The Rolling Stones och den dåvarande folksångaren Bob Dylan, började Norman och Silson träffas och tillbringade nästan all sin fritid med att lära sig nya låtar på sina gitarrer. De lyckades övertala Uttley att ansluta sig till dem och tillsammans med en trummis vid namn Ron Kelly bildade de sitt första band. The Yen, Essence och Long Side Down var bara några av en mängd olika namn som de kallade sig innan de bestämde sig för ”The Elizabethans”. När Ron Kelly lämnade gruppen 1973 bad man en gammal vän vid namn Pete Spencer att ta över på trummor, och gruppen, som skulle bli Smokie, var komplett.
Mellan 1974 och början av 1980-talet hade Smokie framgång genom att turnera över hela världen, men påfrestningarna och pressen av att ständigt vara borta från hem och familj började göra sig påminda på Norman. I början av 1980-talet bestämde han sig för att ägna mer tid åt att skriva och arbeta i studion. Norman och Spencer arbetade nu tillsammans på låtar för andra artister, bland annat hits för Kevin Keegan (”Head Over Heels in Love”, en brittisk hit nr 31) och det engelska fotbollslandslagets låt ”This Time (We’ll Get It Right)”. Han har också arbetat med Agnetha Fältskog (på hennes soloalbum), Racey (medförfattare till ”Baby It’s You”), Donovan (bakgrundssång på Donovan) och Heavy Metal Kids.
År 1978 spelade Norman in en duett med Suzi Quatro, ”Stumblin’ In”, som blev nr. 4 på US Billboard Hot 100 och såldes i över en miljon exemplar.
Normans solokarriär tog fart 1986 med låten ”Midnight Lady”, som blev en hit i hela Europa och höll sig på första plats i Tyskland i sex veckor (där den sålde 900 000 exemplar). Ytterligare framgångar följde med låtarna ”Some Hearts Are Diamonds”, ”No Arms Can Ever Hold You”, ”Broken Heroes”, ”Fearless Hearts”, ”Sarah” och ”Baby I Miss You”. 1994 hedrades Norman av CMT Europe som deras ”International Video Star of the Year”.
2004 deltog han i Comeback Show på den tyska TV-stationen ProSieben och framförde ”Stumblin’ In” i duett med C. C. Catch. I det sista avsnittet av showen fick han sällskap av Smokie för den sista låten.
Den 2 juni 2007 uppträdde Norman på Peel Bay Festival på Isle of Man.