Mängders egenskaper under en operation
Matematiker är ofta intresserade av om vissa mängder har vissa egenskaper under en viss operation eller inte. En anledning till att matematiker var intresserade av detta var för att de skulle kunna avgöra när ekvationer skulle ha lösningar. Om en mängd under en viss operation har vissa allmänna egenskaper kan vi till exempel lösa linjära ekvationer i den mängden.
Det finns flera viktiga egenskaper som en mängd kan eller inte kan uppfylla under en viss operation. En egenskap är en viss regel som gäller om den är sann för alla element i en mängd under den givna operationen och en egenskap gäller inte om det finns minst ett par element som inte följer egenskapen under den givna operationen.
Att tala om egenskaper på detta abstrakta sätt är inte riktigt meningsfullt ännu, så låt oss titta på några exempel på egenskaper så att du bättre kan förstå vad de är. I den här föreläsningen kommer vi att lära oss om stängningsegenskapen.
Slutningsegenskapen
En mängd har slutningsegenskapen under en viss operation om resultatet av operationen alltid är ett element i mängden. Om en mängd har stängningsegenskapen under en viss operation säger vi att mängden är ”sluten under operationen”.
Det är mycket lättare att förstå en egenskap genom att titta på exempel än genom att bara prata om den på ett abstrakt sätt, så låt oss gå över till att titta på exempel så att du kan se exakt vad vi pratar om när vi säger att en mängd har stängningsegenskapen:
Först ska vi titta på några oändliga mängder med operationer som vi redan känner till:
a) Mängden heltal är sluten under addition eftersom summan av två heltal alltid är ett annat heltal och därför ingår i mängden heltal.
b) Mängden heltal är inte sluten under divisionen eftersom när man delar ett heltal med ett annat får man inte alltid ett annat heltal som svar. Till exempel är 4 och 9 båda heltal, men 4 ÷ 9 = 4/9. 4/9 är inte ett heltal, så det ingår inte i mängden heltal!
för att se fler exempel på oändliga mängder som uppfyller och inte uppfyller stängningsegenskapen.
c) Mängden rationella tal är sluten under multiplikationens operation, eftersom produkten av två rationella tal alltid kommer att vara ett annat rationellt tal, och därför kommer att ingå i mängden rationella tal. Detta beror på att multiplikation av två bråk alltid ger ett annat bråk som resultat, eftersom produkten av två bråk a/b och c/d ger ac/bd som resultat. Det enda möjliga sättet att ac/bd inte skulle kunna vara ett bråk är om bd är lika med 0. Men om a/b och c/d båda är bråk, betyder det att varken b eller d är 0, så bd kan inte vara 0.
d) Mängden naturliga tal är inte sluten under subtraktionsoperationen, eftersom när man subtraherar ett naturligt tal från ett annat, får man inte alltid ett annat naturligt tal. Till exempel är 5 och 16 båda naturliga tal, men 5 – 16 = – 11. – 11 är inte ett naturligt tal, så det ingår inte i mängden naturliga tal!
Nu ska vi titta på några exempel på ändliga mängder med operationer som kanske inte är bekanta för oss:
e) Mängden {1,2,3,4} är inte sluten under additionen eftersom 2 + 3 = 5, och 5 är inte ett element i mängden {1,2,3,4}.
Vi kan se detta också genom att titta på operationstabellen för mängden {1,2,3,4} under addition:
|
+ |
|||||
Mängden{1,2,3,4} är inte sluten under operationen + eftersom det finns minst ett resultat (alla resultat är skuggade i orange) som inte är ett element i mängden {1,2,3,4}. Diagrammet innehåller resultaten 5, 6, 7 och 8, som inte är element i mängden {1,2,3,4}!
f) Mängden {a,b,c,d,e} har följande operationstabell för operationen *:
|
* |
a |
b |
c |
d |
e |
||
|
a |
b |
c |
e |
a |
d |
||
|
b |
d |
a |
c |
b |
e |
||
|
c |
c |
d |
b |
e |
a |
||
|
d |
a |
e |
d |
c |
b |
||
|
e |
e |
e |
e |
b |
a |
d |
c |
Mängden{a,b,c,d,e} är sluten under operationen * eftersom alla resultat (som är skuggade i orange) är element i mängden {a,b,c,d,e}.
för att se ett annat exempel.
g) Mängden {a,b,c,d,e} har följande operationstabell för operationen $:
|
a |
b |
c |
d |
e |
|
|
a |
b |
f |
e |
a |
h |
|
b |
d |
a |
c |
h |
e |
|
c |
c |
d |
b |
g |
a |
|
d |
g |
e |
d |
c |
b |
|
e |
e |
b |
h |
d |
c |
Mängden{a,b,c,d,e} är inte sluten under operationen $ eftersom det finns minst ett resultat (alla resultat är skuggade i orange) som inte är ett element i mängden {a,b,c,d,e}. Enligt diagrammet är till exempel a$b=f. Men f är inte ett element i {a,b,c,d,e}!