Dekonvolution

SeismologyEdit

Begreppet dekonvolution användes tidigt inom reflektionsseismologi. År 1950 var Enders Robinson doktorand vid MIT. Han arbetade tillsammans med andra vid MIT, till exempel Norbert Wiener, Norman Levinson och ekonomen Paul Samuelson, för att utveckla den ”konvolutionella modellen” för ett reflektionsseismogram. Modellen utgår från att det registrerade seismogrammet s(t) är en konvolution av en jordreflektionsfunktion e(t) och en seismisk våglängd w(t) från en punktkälla, där t representerar inspelningstiden. Vår konvolutionsekvation är således

s ( t ) = ( e ∗ w ) ( t ) . {\displaystyle s(t)=(e*w)(t).\,}

Seismologen är intresserad av e, som innehåller information om jordens struktur. Genom konvolutionsteoremet kan denna ekvation Fouriertransformeras till

S ( ω ) = E ( ω ) W ( ω ) {\displaystyle S(\omega )=E(\omega )W(\omega )\,}

i frekvensområdet, där ω {\displaystyle \omega }

är frekvensvariabeln. Genom att anta att reflektiviteten är vit kan vi anta att reflektivitetens effektspektrum är konstant, och att seismogrammets effektspektrum är spektrumet av wavelet multiplicerat med denna konstant. Således är | S ( ω ) | ≈ k | W ( ω ) | . {\displaystyle |S(\omega )|\approx k|W(\omega )|.\,}

Om vi antar att waveletten har minsta fas, kan vi återskapa den genom att beräkna motsvarigheten till minsta fas av det effektspektrum som vi just har hittat. Reflektiviteten kan återvinnas genom att utforma och tillämpa ett Wiener-filter som formar den uppskattade waveletten till en Dirac delta-funktion (dvs. en spik). Resultatet kan ses som en serie skalade, förskjutna deltafunktioner (även om detta inte är matematiskt stringent):

e ( t ) = ∑ i = 1 N r i δ ( t – τ i ) , {\displaystyle e(t)=\sum _{i=1}^{N}r_{i}\delta (t-\tau _{i}),}

där N är antalet reflektionshändelser, r i {\displaystyle r_{i}}}

är reflektionskoefficienterna, t – τ i {\displaystyle t-\tau _{i}}

är reflektionstiderna för varje händelse, och δ {\displaystyle \delta }

är Diracs deltafunktion.

I praktiken, eftersom vi har att göra med bullriga, ändliga bandbredder, ändliga längder och diskret samplade datamängder, ger ovanstående förfarande endast en approximation av det filter som krävs för att dekonvolvera data. Genom att formulera problemet som lösningen av en Toeplitzmatris och använda Levinson-rekursion kan vi dock relativt snabbt uppskatta ett filter med minsta möjliga medelkvadratfel. Vi kan också göra dekonvolution direkt i frekvensdomänen och få liknande resultat. Tekniken är nära besläktad med linjär prediktion.

Optik och annan bildbehandlingRedigera

Exempel på en dekonvolverad mikroskopbild.

I optik och bildbehandling används termen ”dekonvolution” specifikt för att hänvisa till processen att vända den optiska förvrängning som sker i ett optiskt mikroskop, elektronmikroskop, teleskop eller annat bildbehandlingsinstrument och på så sätt skapa tydligare bilder. Det sker vanligtvis i den digitala domänen med hjälp av en mjukvarualgoritm, som en del av en serie mikroskopiska bildbehandlingstekniker. Dekonvolution är också praktisk för att skärpa bilder som lider av snabba rörelser eller ryckningar under inspelningen. Tidiga bilder från Hubble Space Telescope förvrängdes av en defekt spegel och skärptes genom dekonvolution.

Den vanliga metoden är att anta att den optiska vägen genom instrumentet är optiskt perfekt, konvolverad med en punktspridningsfunktion (PSF), det vill säga en matematisk funktion som beskriver förvrängningen i termer av den väg som en teoretisk punktkälla av ljus (eller andra vågor) tar genom instrumentet. Vanligtvis bidrar en sådan punktkälla med ett litet område med oskärpa i den slutliga bilden. Om denna funktion kan bestämmas är det sedan en fråga om att beräkna dess inversa eller komplementära funktion och konvolvera den förvärvade bilden med denna. Resultatet är den ursprungliga, oförvrängda bilden.

I praktiken är det omöjligt att hitta den verkliga PSF:n, och vanligtvis används en approximation av den, teoretiskt beräknad eller baserad på någon experimentell uppskattning med hjälp av kända sonder. Verklig optik kan också ha olika PSF vid olika fokala och rumsliga platser, och PSF kan vara icke-linjär. Noggrannheten i approximationen av PSF kommer att diktera slutresultatet. Olika algoritmer kan användas för att ge bättre resultat, till priset av att de är mer beräkningskrävande. Eftersom den ursprungliga konvolutionen kastar bort data, använder vissa algoritmer ytterligare data som förvärvats i närliggande brännpunkter för att kompensera för en del av den förlorade informationen. Reglering i iterativa algoritmer (som i algoritmer för förväntningsmaximering) kan tillämpas för att undvika orealistiska lösningar.

När PSF:n är okänd kan det vara möjligt att härleda den genom att systematiskt prova olika möjliga PSF:er och bedöma om bilden har förbättrats. Detta förfarande kallas blind dekonvolution. Blind dekonvolution är en väletablerad teknik för bildrestaurering inom astronomin, där punktnaturen hos de fotograferade objekten exponerar PSF:en vilket gör det mer genomförbart. Den används också inom fluorescensmikroskopi för bildrestaurering och inom fluorescensspektral avbildning för spektral separation av flera okända fluoroforer. Den vanligaste iterativa algoritmen för ändamålet är Richardson-Lucy-dekonvolutionsalgoritmen; Wiener-dekonvolutionen (och approximationer) är de vanligaste icke-iterativa algoritmerna.

Högupplöst THz-bild uppnås genom att THz-bilden och den matematiskt modellerade THz-PSF:n dekonvolutioneras. (a) THz-bild av en integrerad krets (IC) före förbättring, (b) Matematiskt modellerad THz PSF, (c) Högupplöst THz-bild som uppnås som ett resultat av dekonvolution av THz-bilden som visas i (a) och PSF som visas i (b), (d) Högupplöst röntgenbild som bekräftar noggrannheten hos de uppmätta värdena.

För vissa specifika avbildningssystem, t.ex. laserpulsade terahertzsystem, kan PSF modelleras matematiskt. Som ett resultat, som visas i figuren, kan dekonvolution av den modellerade PSF:n och terahertzbilden ge en representation av terahertzbilden med högre upplösning.

RadioastronomiRedigera

När man utför bildsyntes vid radiointerferometri, en specifik typ av radioastronomi, består ett steg i att dekonvolutionera den producerade bilden med den ”smutsiga strålen”, som är ett annat namn för punktspridningsfunktionen. En vanligt förekommande metod är CLEAN-algoritmen.

AbsorptionsspektraRedigera

Dekonvolution har tillämpats i stor utsträckning på absorptionsspektra. Van Cittert-algoritmen (artikel på tyska) kan användas.

FouriertransformaspekterRedigera

Dekonvolutionen motsvarar division i Fourier-kodomänen. Detta gör att dekonvolution enkelt kan tillämpas med experimentella data som är föremål för en Fouriertransformation. Ett exempel är NMR-spektroskopi där data registreras i tidsdomänen men analyseras i frekvensdomänen. Divisionen av data från tidsdomänen med en exponentiell funktion har som effekt att bredden på de lorenziska linjerna i frekvensdomänen minskas.