Kustlinjeparadoxen

Detta avsnitt behöver ytterligare citat för verifiering. Hjälp gärna till att förbättra den här artikeln genom att lägga till citat till pålitliga källor. Otillgängligt material kan komma att ifrågasättas och tas bort. (Februari 2015) (Lär dig hur och när du tar bort det här mallmeddelandet)

Det grundläggande begreppet längd har sitt ursprung i det euklidiska avståndet. I euklidisk geometri representerar en rät linje det kortaste avståndet mellan två punkter. Denna linje har endast en längd. På en sfärs yta ersätts detta av den geodetiska längden (även kallad storcirkellängden), som mäts längs den ytkurva som finns i det plan som innehåller båda ändpunkterna och sfärens centrum. Längden på grundkurvor är mer komplicerad men kan också beräknas. Genom att mäta med linjaler kan man uppskatta längden på en kurva genom att addera summan av de räta linjer som förbinder punkterna:

Om man använder ett fåtal räta linjer för att uppskatta längden på en kurva får man en uppskattning som är lägre än den verkliga längden; när man använder allt kortare (och därmed fler) linjer närmar sig summan kurvans verkliga längd. Ett exakt värde för denna längd kan hittas med hjälp av kalkyl, den gren av matematiken som gör det möjligt att beräkna oändligt små avstånd. Följande animation illustrerar hur en jämn kurva på ett meningsfullt sätt kan tilldelas en exakt längd:

Det är dock inte alla kurvor som kan mätas på detta sätt. En fraktal är per definition en kurva vars komplexitet förändras med mätskalan. Medan approximationer av en jämn kurva tenderar mot ett enda värde när mätprecisionen ökar, konvergerar inte det uppmätta värdet för en fraktal.

Denna Sierpiński-kurva (en typ av rymdfyllande kurva), som upprepar samma mönster i en allt mindre skala, fortsätter att öka i längd. Om den uppfattas som iterativ inom ett oändligt delbart geometriskt rum tenderar dess längd mot oändligheten. Samtidigt konvergerar den yta som kurvan omsluter till en exakt siffra – precis som, analogt, en ös landmassa kan beräknas lättare än längden på dess kustlinje.

Då längden på en fraktalkurva alltid divergerar mot oändligheten, skulle längden på de oändligt korta knutarna i kustlinjen summera till oändligheten om man skulle mäta en kustlinje med oändlig eller nästan oändlig upplösning. Denna figur bygger dock på antagandet att rymden kan delas in i infinitesimala sektioner. Sanningsvärdet av detta antagande – som ligger till grund för den euklidiska geometrin och fungerar som en användbar modell för vardagliga mätningar – är en fråga om filosofiska spekulationer och kan eller inte kan återspegla den föränderliga verkligheten för ”rymd” och ”avstånd” på atomnivå (ungefär på nanometerskalan). Till exempel föreslås Planck-längden, som är många storleksordningar mindre än en atom, som den minsta möjliga mätbara enheten i universum.

Kustlinjer är mindre definitiva i sin konstruktion än idealiserade fraktaler som Mandelbrot-mängden, eftersom de bildas av olika naturliga händelser som skapar mönster på statistiskt slumpmässiga sätt, medan idealiserade fraktaler bildas genom upprepade iterationer av enkla, formelmässiga sekvenser.

Lämna en kommentar