I matematiken används ofta motprov för att bevisa gränserna för möjliga satser. Genom att använda motexempel för att visa att vissa gissningar är falska kan matematiska forskare sedan undvika att gå in i återvändsgränder och lära sig att modifiera gissningar för att producera bevisbara satser. Det sägs ibland att den matematiska utvecklingen främst består i att hitta (och bevisa) satser och motexempel.
RektangelexempelRedigera
Antag att en matematiker studerar geometri och former, och att hon vill bevisa vissa satser om dem. Hon antar att ”alla rektanglar är kvadrater”, och hon är intresserad av att veta om detta påstående är sant eller falskt.
I det här fallet kan hon antingen försöka bevisa påståendets sanning med hjälp av deduktiva resonemang, eller så kan hon försöka hitta ett motexempel till påståendet om hon misstänker att det är falskt. I det senare fallet skulle ett motexempel vara en rektangel som inte är en kvadrat, till exempel en rektangel med två sidor med längden 5 och två sidor med längden 7. Men trots att hon har hittat rektanglar som inte är kvadrater hade alla rektanglar hon hittade fyra sidor. Hon gör då den nya gissningen ”Alla rektanglar har fyra sidor”. Detta är logiskt sett svagare än hennes ursprungliga gissning, eftersom varje kvadrat har fyra sidor, men inte varje fyrsidig form är en kvadrat.
Ovanstående exempel förklarade – på ett förenklat sätt – hur en matematiker kan försvaga sin gissning inför motbevis, men motbevis kan också användas för att visa att vissa antaganden och hypoteser är nödvändiga. Anta till exempel att matematikern ovan efter ett tag har kommit fram till den nya gissningen ”Alla former som är rektanglar och har fyra lika långa sidor är fyrkanter”. Denna gissning har två delar i hypotesen: formen måste vara ”en rektangel” och måste ha ”fyra lika långa sidor”. Matematikern vill då veta om hon kan ta bort något av dessa antaganden och ändå behålla sanningen i sin gissning. Detta innebär att hon måste kontrollera sanningen av följande två påståenden:
- ”Alla former som är rektanglar är kvadrater.”
- ”Alla former som har fyra lika långa sidor är kvadrater”.
Ett motexempel till (1) gavs redan ovan, och ett motexempel till (2) är en icke fyrkantig romb. Matematikern vet alltså nu att båda antagandena faktiskt var nödvändiga.
Andra matematiska exempelRedigera
Ett motexempel till påståendet ”alla primtal är udda tal” är talet 2, eftersom det är ett primtal men inte ett udda tal. Inget av talen 7 eller 10 är ett motexempel, eftersom inget av dem är tillräckligt för att motsäga påståendet. I det här exemplet är 2 faktiskt det enda möjliga motexemplet till påståendet, även om det i sig självt är tillräckligt för att motsäga påståendet. På liknande sätt har påståendet ”Alla naturliga tal är antingen primtal eller sammansatta” talet 1 som motexempel, eftersom 1 varken är primtal eller sammansatt.
Eulers sum of powers conjecture motbevisades genom ett motexempel. Den hävdade att minst n n:e potenser var nödvändiga för att summera till en annan n:e potens. Denna gissning motbevisades 1966, med ett motexempel som gällde n = 5. Andra n = 5 motexempel är nu kända, liksom några n = 4 motexempel.
Witsenhausens motexempel visar att det inte alltid är sant (för kontrollproblem) att en kvadratisk förlustavvikelse och en linjär evolutionsekvation för tillståndsvariabeln innebär att optimala kontrolllagar är linjära.
Andra exempel inkluderar motbevisen av Seiferts gissning, Pólyas gissning, gissningen om Hilberts fjortonde problem, Taits gissning och Ganeas gissning.