Vi får alla sorters frågor i vår ”Fråga en fysiker”-inbox (inklusive ett positivt nedslående antal från människor som verkar tro att det är ”Fråga en synsk”), men ett ämne som ständigt verkar väcka människors fantasi och nyfikenhet är ljusets hastighet. Vad definierar den, och varför kan ingenting gå snabbare än så? Vad händer om vi försöker? Att tänka på dessa frågor och försöka hitta svaren på dem är fascinerande och roligt i sig, men ännu viktigare är att det ger oss en inblick i de regler som ligger till grund för vårt universum. I dag ska vi gräva i en av dessa frågor och dess upplysande (utan ordvitsar) svar: Varför är ljusets hastighet i ett vakuum ~300 000 000 000 meter per sekund? Varför c?
Oavsett våglängd och energi rör sig alla elektromagnetiska vågor med samma hastighet.
Föreställ dig att du har en laddad tråd som sträcker sig oändligt i båda riktningarna. Eftersom den är oändlig är det svårt att tala om hur mycket total laddning som finns på tråden, på samma sätt som vi skulle kunna göra om det var något som en sfär. Men genom att titta på en ändlig längdenhet kan vi tala om till exempel laddningen per meter, eller laddningstätheten.
En oändlig tråd ser likadan ut från vilken punkt som helst längs dess längd, så när du tänker på styrkan i det elektriska fältet som skapas av laddningen i den här tråden – hur starkt en laddad partikel skulle attraheras eller stötas bort av den – beror det enbart på trådens laddningstäthet och partikelns avstånd från tråden (samt permittiviteten hos mediet du befinner dig i, vilket för våra syften är ett vakuum). Ekvationen för det elektriska fältet runt denna tråd visas nedan:
Nu, långt borta i det oändliga avståndet, börjar någon att rulla in denna tråd och dra den längs dess axel. För alla praktiska ändamål skapar denna rörelse en ström; i stället för att flytta laddningarna i tråden (som man skulle göra genom att ändra spänningen i ena änden), flyttar vi själva tråden, tillsammans med de laddningar den innehåller. Varför, det får du förhoppningsvis se om en stund.
Som du kanske vet skapar en ström i en tråd ett magnetfält som cirkulerar runt tråden. Styrkan på det magnetfältet beror på ditt avstånd från tråden (d), men också på strömmens styrka, som i det här fallet är produkten av trådens laddningstäthet och hastigheten med vilken den dras med.
Föreställ dig nu att du har en andra sådan här tråd, parallell med den första, laddad med samma spänning, och som dras i samma riktning med samma hastighet. Eftersom de har samma laddning kommer de två trådarna att stöta bort varandra, och pressas isär av sin elektrostatiska repulsion.
När man beräknar kraften mellan två laddade objekt multipliceras deras laddningar med varandra, vilket leder till termen lambda-kvadrat ovan (eftersom varje tråd har en laddningstäthet på lambda).
Den statiska elektriska laddningen på dessa trådar gör att de stöter bort varandra. Men eftersom trådarna dras med i samma riktning finns det i praktiken en ström i var och en av dem, och det magnetfält som följer med dessa strömmar. När du har två strömmar som pekar åt samma håll i parallella trådar skapar deras magnetfält en attraktiv kraft mellan de två – ju snabbare de går, desto starkare blir denna attraktiva kraft.
Ekvationen för den magnetiskt skapade attraktiva kraften mellan trådarna.
Om du följer noga ser du att vi har satt upp ett scenario där magnetismens attraktiva kraft motverkar den frånstötande elektriska kraften mellan dessa trådar. Som du kan se i ekvationerna ovan beror dock styrkan hos den magnetiska kraften på hur snabbt trådarna rör sig, medan den repulsiva elektriska kraften inte gör det (därav den vanliga fysikaliska termen elektrostatisk). Så hur snabbt måste trådarna röra sig för att den elektriska avstötningen ska upphävas av den magnetiska attraktionen? Det kan vi ta reda på genom att ställa in de två kraftekvationerna lika med varandra, enligt nedan, och sedan lösa för v.
En bit algebra hjälper oss att bli av med parenteserna och minska bråket på ekvationens högra sida, vilket ger detta:
Ett överraskande resultat i detta steg är att termen för laddningstäthet förekommer på samma ställe på båda sidor av ekvationen och är upphöjd till samma potens, vilket innebär att den kan ”upphävas” – den hastighet som trådarna måste röra sig med för att deras elektriska och magnetiska krafter ska balansera sig beror inte alls på hur starkt de är laddade. Faktorn 2*pi*d kan också upphävas, vilket innebär att avståndet mellan trådarna också är irrelevant i denna ekvation. Genom att dividera ut alla överflödiga termer blir ekvationen till:
och slutligen ger lösningen för v:
Om man sätter in de faktiska numeriska värdena för vakuums permittivitet och permeabilitet blir det 299 792 400 meter per sekund – exakt ljusets hastighet!
Vad betyder detta? För det första betyder det att du i verkligheten aldrig skulle kunna flytta trådarna tillräckligt snabbt för att deras elektriska avstötning helt och hållet skulle motverkas av deras magnetiska attraktion, eftersom inget massivt objekt någonsin kan röra sig i ljusets hastighet. Viktigare är dock att det ger oss en ledtråd till varför ljusets hastighet i vakuum är vad den är; det är den hastighet där elektriska och magnetiska krafter balanserar varandra för att skapa ett stabilt elektromagnetiskt vågpaket som kan färdas i all oändlighet. Om det skulle vara långsammare skulle fotonen bli upplöst, precis som trådarna skulle tryckas isär av den elektriska avstötningen. Om det går snabbare skulle magnetismen övervinna denna avstötning och dra ihop dem, vilket skulle få systemet att kollapsa. Med inget annat än matematik på gymnasienivå är det lätt att visa att ljusets hastighet i ett medium (eller i rymdens vakuum) oundvikligen uppstår som en följd av mediets elektriska permittivitet och magnetiska permeabilitet.
Jag vet att detta var väldigt matematiskt för ett blogginlägg (vi var faktiskt tvungna att räkna ut allt detta som en hemläxa på högskolan), men förhoppningsvis har det gett dig en glimt av en av de mest spännande och beroendeframkallande delarna av fysiken – potentialen att härleda och upptäcka bokstavliga universella sanningar med ingenting annat än lite fantasi och matematik.