Teorin om slumpmässiga matriser utgår från antagandet att det storskaliga beteendet hos ett komplext system bör styras av symmetrierna och de statistiska egenskaperna hos dess parametrar, och att det är relativt okänsligt för de exakta detaljerna hos varje interagerande element. Teorin syftar främst till att bestämma statistiken för egenvärdena och egenvektorerna hos slumpmässiga matriser i storleksgränsen. Tidiga arbeten, med ursprung i kärnfysiken, inriktade sig på ensembler med både hermitisk symmetri och alla-till-alla-interaktioner, i likhet med medelfältsmodeller inom den statistiska fysiken. Om man släpper på antagandet om allt-till-allt införs topologisk oordning och leder till ensembler av glesa slumpmässiga matriser med många nollmatrisposter. Sådana matriser modellerar komplexa system där en given frihetsgrad interagerar med ett ändligt antal andra, och uppstår naturligt i samband med system som neurala nätverk eller ekosystem.
Trots denna breda betydelse har glesa icke-Hermitiska slumpmatriser dock inte studerats i någon större utsträckning förrän under det senaste decenniet, eftersom standardanalysmetoder från teorin om slumpmatriser inte är tillämpliga. Rigorösa resultat för sådana matriser är nästan obefintliga eftersom det är mycket svårt att bevisa konvergensen av egenskaper hos egenvärden och egenvektorer till en deterministisk gräns vid stora matrisstorlekar. Den senaste forskningen har dock gjort framsteg med nya tillvägagångssätt. I en ny artikel granskar LML Fellow Fernando Metz, tillsammans med Izaak Neri från King’s College London och Tim Rogers från University of Bath, de teoretiska framstegen i studiet av spektrat av sparsamma icke-Hermitiska slumpmatriser, med fokus på exakta metoder baserade på en fruktbar analogi mellan beräkningar av slumpmatriser och den statistiska mekaniken hos oordnade spinsystem. Som de visar ger dessa metoder för enkla modeller tillgång till analytiska resultat för de spektrala egenskaperna hos sparsamma icke-Hermitiska slumpmatriser. För mer komplicerade modeller kan spektralegenskaperna också beräknas i storleksgränsen med hjälp av numeriska algoritmer.
Metz och kollegor avslutar sin översikt med att konstatera att teorin om sparsamma icke-Hermitiska slumpmatriser fortfarande befinner sig i sin linda, jämfört med klassisk teori om slumpmatriser, och att det finns många olösta frågor. En av dem är frågan om universalitet. Intresset för teorin om slumpmässiga matriser beror till stor del på det universella beteendet hos många spektrala observabler, vilket gör det möjligt att studera stabiliteten hos komplexa dynamiska system. När det gäller glesa slumpmatriser tycks denna möjlighet gå förlorad på grund av starka lokala fluktuationer i grafstrukturen. Det visar sig dock att många ensembler av glesa icke-Hermitiska slumpmatriser uppvisar vissa universella egenskaper, t.ex. det spektrala gapet, egenvärdet med den största reella delen och de egenvektormoment som motsvarar detta egenvärde. Dessa spektrala egenskaper bestämmer stabiliteten och dynamiken i komplexa system. Därför verkar det som om det finns hopp om att hitta universellt beteende för glesa matriser, om man tittar på rätt observabler, vilket skulle kunna leda till en bättre förståelse av universalitet i stora dynamiska system.
En förhandsutgåva av artikeln finns tillgänglig på https://arxiv.org/abs/1811.10416
.