Con l’avvento del rock and roll, Norman acquista la sua prima chitarra all’età di sette anni. Le sue prime influenze musicali furono Elvis Presley, Little Richard e Lonnie Donegan.
In questi primi anni, i genitori di Norman si spostarono spesso nel paese, il che lo portò a frequentare nove scuole diverse e a vivere in varie località dell’Inghilterra, come Redcar, Luton, Kimpton e Nottingham. Nel 1962, tuttavia, la famiglia tornò nella città natale della madre di Norman, Bradford. Avvicinandosi al suo dodicesimo compleanno, Norman iniziò a frequentare la St. Bede’s Grammar School, dove avrebbe incontrato Alan Silson e Terry Uttley, futuri membri degli Smokie.
Da adolescenti, influenzati dalla nuova era di gruppi come i Beatles e i Rolling Stones e dall’allora cantante folk, Bob Dylan, Norman e Silson iniziarono a incontrarsi e passarono quasi tutto il loro tempo libero a imparare nuove canzoni con le loro chitarre. Riuscirono a convincere Uttley a unirsi a loro e, insieme a un amico batterista di nome Ron Kelly, formarono la loro prima band. The Yen, Essence e Long Side Down furono solo alcuni dei vari nomi con cui si chiamarono prima di stabilirsi su “The Elizabethans”. Quando Ron Kelly lasciò il gruppo nel 1973, fu chiesto a un vecchio amico di nome Pete Spencer di sostituirlo alla batteria, e il gruppo, che sarebbe diventato Smokie, era completo.
Tra il 1974 e i primi anni ’80, Smokie ebbe successo facendo tour in tutto il mondo, ma la tensione e la pressione di essere costantemente lontano da casa e dalla famiglia cominciava a farsi sentire su Norman. All’inizio degli anni ’80 decise di passare più tempo a scrivere e a lavorare in studio. Norman e Spencer ora lavoravano insieme su canzoni per altri artisti, compresi i successi per Kevin Keegan (“Head Over Heels in Love”, un successo britannico n. 31), e la canzone della squadra di calcio inglese “This Time (We’ll Get It Right)”. Ha anche lavorato con Agnetha Fältskog (nel suo album da solista), Racey (co-autore di “Baby It’s You”), Donovan (voce di accompagnamento su Donovan), e Heavy Metal Kids.
Nel 1978, Norman ha registrato un duetto con Suzi Quatro, “Stumblin’ In”, che ha raggiunto la No. 4 nella US Billboard Hot 100 e vendette oltre un milione di copie.
La carriera solista di Norman decollò nel 1986 con la canzone “Midnight Lady”, che fu un successo in tutta Europa, mantenendo il primo posto in Germania per sei settimane (dove vendette 900.000 copie). Seguirono altri successi con le canzoni “Some Hearts Are Diamonds”, “No Arms Can Ever Hold You”, “Broken Heroes”, “Fearless Hearts”, “Sarah” e “Baby I Miss You”. Nel 1994, Norman è stato premiato dalla CMT Europe come “International Video Star of the Year”.
Nel 2004, ha partecipato al Comeback Show dell’emittente televisiva tedesca ProSieben e ha eseguito “Stumblin’ In” in duetto con C. C. Catch. Nella puntata finale dello show, è stato raggiunto da Smokie per la canzone finale.
Il 2 giugno 2007, Norman si è esibito al Peel Bay Festival, Isola di Man.