In matematica, i controesempi sono spesso usati per dimostrare i limiti dei teoremi possibili. Usando i controesempi per mostrare che certe congetture sono false, i ricercatori matematici possono evitare di percorrere vicoli ciechi e imparare a modificare le congetture per produrre teoremi dimostrabili. A volte si dice che lo sviluppo matematico consiste principalmente nel trovare (e provare) teoremi e controesempi.
Esempio di rettangoloModifica
Supponiamo che un matematico stia studiando la geometria e le forme, e desideri dimostrare alcuni teoremi su di esse. Congettura che “Tutti i rettangoli sono quadrati”, e le interessa sapere se questa affermazione è vera o falsa.
In questo caso, può tentare di provare la verità dell’affermazione usando il ragionamento deduttivo, oppure può tentare di trovare un controesempio dell’affermazione se sospetta che sia falsa. In quest’ultimo caso, un controesempio sarebbe un rettangolo che non è un quadrato, come un rettangolo con due lati di lunghezza 5 e due lati di lunghezza 7. Tuttavia, nonostante abbia trovato rettangoli che non sono quadrati, tutti i rettangoli che ha trovato hanno quattro lati. Fa quindi la nuova congettura “Tutti i rettangoli hanno quattro lati”. Questa è logicamente più debole della sua congettura originale, poiché ogni quadrato ha quattro lati, ma non ogni forma a quattro lati è un quadrato.
L’esempio precedente ha spiegato – in modo semplificato – come un matematico potrebbe indebolire la sua congettura di fronte ai controesempi, ma i controesempi possono anche essere usati per dimostrare la necessità di certi presupposti e ipotesi. Per esempio, supponiamo che dopo un po’ di tempo, il matematico di cui sopra si sia stabilito sulla nuova congettura “Tutte le forme che sono rettangoli e hanno quattro lati di uguale lunghezza sono quadrati”. Questa congettura ha due parti dell’ipotesi: la forma deve essere “un rettangolo” e deve avere “quattro lati di lunghezza uguale”. Il matematico vorrebbe quindi sapere se può eliminare una delle due ipotesi e mantenere la verità della sua congettura. Questo significa che deve controllare la verità delle due seguenti affermazioni:
- “Tutte le forme che sono rettangoli sono quadrati”
- “Tutte le forme che hanno quattro lati di lunghezza uguale sono quadrati”.
Un controesempio a (1) è già stato dato sopra, e un controesempio a (2) è un rombo non quadrato. Così, il matematico ora sa che entrambe le ipotesi erano effettivamente necessarie.
Altri esempi matematiciModifica
Un controesempio all’affermazione “tutti i numeri primi sono numeri dispari” è il numero 2, poiché è un numero primo ma non è un numero dispari. Nessuno dei numeri 7 o 10 è un controesempio, poiché nessuno dei due è sufficiente a contraddire l’affermazione. In questo esempio, il 2 è di fatto l’unico possibile controesempio all’affermazione, anche se questo da solo è sufficiente a contraddire l’affermazione. In modo simile, l’affermazione “Tutti i numeri naturali sono o primi o composti” ha il numero 1 come controesempio, poiché 1 non è né primo né composto.
La congettura della somma delle potenze di Eulero fu confutata dal controesempio. Affermava che almeno n potenze ennesime erano necessarie per sommare un’altra potenza ennesima. Questa congettura è stata confutata nel 1966, con un controesempio che coinvolgeva n = 5; altri controesempi n = 5 sono ora noti, così come alcuni controesempi n = 4.
Il controesempio di Witsenhausen mostra che non è sempre vero (per i problemi di controllo) che una funzione di perdita quadratica e un’equazione lineare di evoluzione della variabile di stato implicano leggi di controllo ottimali che sono lineari.
Altri esempi includono la confutazione della congettura di Seifert, la congettura di Pólya, la congettura del quattordicesimo problema di Hilbert, la congettura di Tait e la congettura di Ganea.